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$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的
（A）不可导点．
（B）驻点且是极大值点．
（C）驻点且是极小值点．
（D）可导的点但不是驻点．
设当 $0<x \leqslant 1$ 时，函数 $f(x)=x^{\sin x}$ ，对于其他 $x, f(x)=2 f(x+1)-\ln k$ ．若 $f(x)$在 $x=0$ 处连续，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则
（A）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
（B）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)$ 存在．
（D） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 存在．
$y \rightarrow y_{0}$
二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）极限存在但不连续．
（B）连续但偏导数不存在．
（C）偏导数存在但不可微。
（D）可微。
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\arctan \frac{x}{2}}{1-\mathrm{e}^{\sin x}}, & x>0, \\ a \mathrm{e}^{2 x}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
建议签题时间
140设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是
（A）$\alpha<1$.
（B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\mathrm{e}^{(x+y)^{2}}-1}=3$ ，则
（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极小值点．
（D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极大值点．
（1）已知 Stolz 定理：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=L$ ．
证明：若 $x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle x_{1}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L(L>0)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=L$ 。
（2）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：
x_{1}=1, x_{2}=1, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=1,2, \cdots,
证明：$\displaystyle x_{n}=\frac{a^{n}-b^{n}}{\sqrt{5}}$ ，其中 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ．
（3）对（2）中的 $x_{n}$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$ ．
设 $\displaystyle a_{0} \in(-1,1), a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}, n=1,2, \cdots$ ，求：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} 4^{n}\left(1-a_{n}\right)$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ ．
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_{n} \sin x_{n}}$ ，且 $\displaystyle 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sec x_{n}-\tan x_{n}}{\frac{\pi}{2}-x_{n}}$ ．
设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$ ．
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[1-f(x)]$ 不存在，而 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x+[b-1-b f(x)] \arctan x}{\frac{\pi}{3}-\arctan x}$ 存在， $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\arctan x$
试确定 $b$ 的值，并求 $I$ ．
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}\left(1+b x+c x^{2}\right)-1-a x}{x^{4}}$ 存在，求常数 $a, b, c$ 的值并求此极限值．
讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x\left(x^{2}-4\right)}{\sin \pi x}, & x>0, \\ \frac{x(x+1)}{x^{2}-1}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 的连续性并指出间断点的类型．
（1）记 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (2 n+1) x}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle I_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2} \pi$ ．
（2）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 n x \cdot \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ．
（1）证明：对任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ．
（2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$。。
20设 $f^{\prime \prime}(a)$ 存在，$f^{\prime}(a) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{1}{f^{\prime}(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right]=$ $\_\_\_\_$。
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
试问 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处，（1）是否连续？（2）偏导数是否存在？（3）是否可微？
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\operatorname{dg}(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
数列极限的定义（ε-N语言）
第 1 题
第1题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 102 题
第102题
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的
（A）不可导点．
（B）驻点且是极大值点．
（C）驻点且是极小值点．
（D）可导的点但不是驻点．
第 12 题
第12题
设当 $0<x \leqslant 1$ 时，函数 $f(x)=x^{\sin x}$ ，对于其他 $x, f(x)=2 f(x+1)-\ln k$ ．若 $f(x)$在 $x=0$ 处连续，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
第 137 题
第137题
设 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则
（A）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
（B）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)$ 存在．
（D） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 存在．
$y \rightarrow y_{0}$
第 139 题
第139题
二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）极限存在但不连续．
（B）连续但偏导数不存在．
（C）偏导数存在但不可微。
（D）可微。
第 14 题
第14题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\arctan \frac{x}{2}}{1-\mathrm{e}^{\sin x}}, & x>0, \\ a \mathrm{e}^{2 x}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
建议签题时间
第 140 题
第140题
140设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是
（A）$\alpha<1$.
（B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．
第 144 题
第144题
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\mathrm{e}^{(x+y)^{2}}-1}=3$ ，则
（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极小值点．
（D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极大值点．
第 172 题
第172题
（1）已知 Stolz 定理：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=L$ ．
证明：若 $x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle x_{1}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L(L>0)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=L$ 。
（2）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：
x_{1}=1, x_{2}=1, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=1,2, \cdots,
证明：$\displaystyle x_{n}=\frac{a^{n}-b^{n}}{\sqrt{5}}$ ，其中 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ．
（3）对（2）中的 $x_{n}$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$ ．
第 173 题
第173题
设 $\displaystyle a_{0} \in(-1,1), a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}, n=1,2, \cdots$ ，求：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} 4^{n}\left(1-a_{n}\right)$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ ．
第 174 题
第174题
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_{n} \sin x_{n}}$ ，且 $\displaystyle 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sec x_{n}-\tan x_{n}}{\frac{\pi}{2}-x_{n}}$ ．
第 175 题
第175题
设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$ ．
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[1-f(x)]$ 不存在，而 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x+[b-1-b f(x)] \arctan x}{\frac{\pi}{3}-\arctan x}$ 存在， $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\arctan x$
试确定 $b$ 的值，并求 $I$ ．
第 177 题
第177题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}\left(1+b x+c x^{2}\right)-1-a x}{x^{4}}$ 存在，求常数 $a, b, c$ 的值并求此极限值．
第 179 题
第179题
讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x\left(x^{2}-4\right)}{\sin \pi x}, & x>0, \\ \frac{x(x+1)}{x^{2}-1}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 的连续性并指出间断点的类型．
第 196 题
第196题
（1）记 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (2 n+1) x}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle I_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2} \pi$ ．
（2）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 n x \cdot \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ．
第 199 题
第199题
（1）证明：对任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ．
（2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$
第 2 题
第2题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$。。
第 20 题
第20题
20设 $f^{\prime \prime}(a)$ 存在，$f^{\prime}(a) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{1}{f^{\prime}(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right]=$ $\_\_\_\_$。
第 206 题
第206题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
试问 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处，（1）是否连续？（2）偏导数是否存在？（3）是否可微？
第 207 题
第207题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\operatorname{dg}(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．