kaoyan1advanced 线性代数 第182题
📝 题目
第182题
设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ．若 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right. \left.+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：$-20$
解析：步骤1：由矩阵乘法，$B=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]C$，其中 $C=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{bmatrix}$。
步骤2：$|B|=|A|\cdot|C|=4\times\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{vmatrix}=4\times(1\cdot(1\cdot1-2\cdot(-2)))=4\times5=20$。
步骤3：注意 $B$ 的第三列是 $2\alpha_2+\alpha_3$，但题目中 $B$ 的列向量顺序为 $[\alpha_1-3\alpha_2+2\alpha_3, \alpha_2-2\alpha_3, 2\alpha_2+\alpha_3]$，计算 $|C|$ 得 $1\cdot(1\cdot1-(-2)\cdot2)=5$，故 $|B|=4\times5=20$。
（更正：$|C|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot1-2\cdot(-2))=5$，$|B|=4\times5=20$）
答案应为：$20$
解析：步骤1：$B=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{bmatrix}$。
步骤2：$|B|=|A|\cdot\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{vmatrix}=4\times(1\cdot(1\cdot1-2\cdot(-2)))=4\times5=20$。
难度：★★☆☆☆