kaoyan1advanced - 线性代数 - mathabc.xyz

181 📝 有解析

第181题

f(x)$=$$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & x & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x-2 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．

182 📝 有解析

第182题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ．若 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right. \left.+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。

183 📝 有解析

第183题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{3} \boldsymbol{B}\right)^{-1}-2 \boldsymbol{B}^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ .

184 📝 有解析

第184题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{3}+2 \boldsymbol{A}^{2}$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

185 📝 有解析

第185题

计算 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{9}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

186 📝 有解析

第186题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\ 1 & a & a \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & a \\ 1 & 2 & 2 a\end{array}\right]$ 等价，则 $a$ $\_\_\_\_$ ．

187 📝 有解析

第187题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]$ ，若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{X}$ ，则 $\boldsymbol{X}^{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

188 📝 有解析

第188题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 2 & a & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ．

189 📝 有解析

第189题

(2002,4) 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, 0, b)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0, a, c)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(c, b, 0)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a$ ， $b, c$ 必满足 $\_\_\_\_$．

190 📝 有解析

第190题

设 $n(n>2)$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+3 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\beta}$ 是任意 $n$ 维向量，若 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

191 📝 有解析

第191题

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,4, t-6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6,6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(t$ ， $14, t-4)^{\mathrm{T}}$ 的极大线性无关组，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ． 뚤t己

192 📝 有解析

第192题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ .

193 📝 有解析

第193题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ .

194 📝 有解析

第194题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_{1}=1$ 和 $\lambda_{2}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 2 个特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,4,5)^{\mathrm{T}}$ 。若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$。

195 📝 有解析

第195题

已知非齐次线性方程组（I）与（II）同解，其中
（I）$\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =5, \\ x_{2}+x_{3} & =2,\end{aligned}\right.$
（II）$\left\{\begin{array}{l}a x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=11, \\ 2 x_{1}+5 x_{2}-a x_{3}=16,\end{array}\right.$ 则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

196 📝 有解析

第196题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & 0 & -1 \\ 0 & a & 1 \\ -1 & 1 & a+1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为

197 📝 有解析

第197题

已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，又三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B A}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

198 📝 有解析

第198题

(1999,4) 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

199 📝 有解析

第199题

\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三个线性无关的三维列向量，其中 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解 $\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ $\_\_\_\_$ ．$

200 📝 有解析

第200题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{E}$ ，如果秩 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$ ，则和 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是 $\_\_\_\_$ ．

201 📝 有解析

第201题

已知三元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

202 📝 有解析

第202题

已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

203 📝 有解析

第203题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_{1}^{2}+a x_{3}^{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．

204 📝 有解析

第204题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & a+5 & -1 & -3 \\ 5 & 10 & a & -5\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间是二维空间，那么 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

205 📝 有解析

第205题

已知三维空间的两组基 $\begin{aligned}$
& \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \\
& \boldsymbol{\beta}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(1,2,0)^{\mathrm{T}},
\end{aligned} 在这两组基下坐标相同的向量 $\boldsymbol{\gamma}=$ $\_\_\_\_$ ． ## 选择题

206 📝 有解析

第206题

D=$\left|\begin{array}{cccc}a^{2} & (a+1)^{2} & (a+2)^{2} & (a+3)^{2} \\ b^{2} & (b+1)^{2} & (b+2)^{2} & (b+3)^{2} \\ c^{2} & (c+1)^{2} & (c+2)^{2} & (c+3)^{2} \\ d^{2} & (d+1)^{2} & (d+2)^{2} & (d+3)^{2}\end{array}\right|=
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C）$a b c d$ ．
（D）$a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}$ ．$

207 📝 有解析

第207题

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=1,|\boldsymbol{B}|=-2$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & -2 \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=$
（A） 4 ．
（B）-4 ．
（C） 16 ．
（D）-16 ．

208 📝 有解析

第208题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=3$ ，则 $|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
（A）-4 ．
（B） 9 ．
（C） 16 ．
（D）-9 ．

210 📝 有解析

第210题

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=$
（A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{B}$ ．
（B） $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$ ．
（C） $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．
（D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}$ ．

211 📝 有解析

第211题

三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行与第 3 行互换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，把矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的 -3 倍加到第 2 列得到单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{*}=$
（A）$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ．

212 📝 有解析

第212题

设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right.$ ， $\left.2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$
（A）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ．

213 📝 有解析

第213题

（2016，数农）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r(\boldsymbol{A})=$
（A） 4 ．
（B） 3 ．
（C） 2 ．
（D） 1 ．

214 📝 有解析

第214题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则
（A）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件．
（B）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．
（C）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分条件．
（D）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．

215 📝 有解析

第215题

(2003,3)$ 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则必有
（A）$a=b$ 或 $a+2 b=0$ ．
（B）$a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ．
（C）$a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ．
（D）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ．
旗胜考研$

216 📝 有解析

第216题

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$ ，其中 $a$ 为任意常数，则
$(\mathrm{A}) r(\boldsymbol{A})=1$ ．
（B）$r(\boldsymbol{A})=2$ ．
$(\mathrm{C}) r(\boldsymbol{A})=3$ ．
（D）$r(\boldsymbol{A})$ 与 $a$ 有关．

217 📝 有解析

第217题

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，则
（A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．
（B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关．
（C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关．
（D） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．

218 📝 有解析

第218题

（2010，数农）设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示，下列命题中正确的是
（A）若向量组 I 线性无关，则 $r \leqslant s$ ．
（B）若向量组 I 线性相关，则 $r>s$ ．
（C）若向量组 II 线性无关，则 $r \leqslant s$ ．
（D）若向量组 II 线性相关，则 $r>s$ ．

219 📝 有解析

第219题

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维非零向量，则下列命题中正确的是
（A）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性相关．
（B）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性无关．
（C）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性相关．
（D）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性无关．

220 📝 有解析

第220题

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,2,3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,3, a)^{\mathrm{T}}$的秩等于 3 ，则 $a=$
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

221 📝 有解析

第221题

已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

222 📝 有解析

第222题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则下列命题中正确的一共有
（1） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。
（2） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组．
（3）秩 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ 。
（4） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组．
（A） 4 个．
（B） 3 个．
（C） 2 个．
（D） 1 个．

223 📝 有解析

第223题

(1991,4)$ 设方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有 $m$ 个方程，$n$ 个未知数且 $m \neq n$ ，则正确命题是
（A）若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。
（B）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解．
（C）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解。
（D）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解。$

224 📝 有解析

第224题

(1997,4)$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则
（A）$r=m$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解．
（B）$r=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解．
（C）$m=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解．
（D）$r<n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解．$

225 📝 有解析

第225题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列命题中错误的是
（A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解．
（B）存在 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 而 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．
（C）$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=0$ ．
（D）$\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=0$ ．更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取

226 📝 有解析

第226题

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和（II） $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，现有四个命题
（1）（ I ）的解必是（II）的解；
（2）（II）的解必是（I）的解；
（3）（ I ）的解不是（II）的解；
（4）（II）的解不是（I）的解．以上命题中正确的是
（A）（1）（2）．
（B）（1）（4）．
（C）（3）（4）．
（D）（2）（3）． ## 1）響

227 📝 有解析

第227题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 是三阶可逆矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是三阶矩阵，且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & 4 a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & 4 a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & 4 a_{33} & a_{32}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是
（A） $1,-1,4$ ．
（B） $1,1,-4$ ．
（C） $1,2,-2$ ．
（D） $1,-1,2$ ．

228 📝 有解析

第228题

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是
（A）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -5\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ．

229 📝 有解析

第229题

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}, \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{D}$ ，则必有
（A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \sim(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D})$ ．
（B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]$ ．
（C） $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{C D}$ ．
（D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{D} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

230 📝 有解析

第230题

设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 是单位向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}+3 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$
（A）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 5 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ．

231 📝 有解析

第231题

与二次型 $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是
（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -8\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ．

232 📝 有解析

第232题

已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}$ 和 $\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B y}=y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}$ ，则二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$
（A）相似且合同．
（B）相似但不合同．
（C）合同但不相似．
（D）不合同也不相似。

233 📝 有解析

第233题

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是
（A）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同．
（B）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $9 \boldsymbol{B}$ 合同．
（C）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}+k \boldsymbol{E}$ 合同．
（D）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．

234 📝 有解析

第234题

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列对换得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行和第 $j$行对换得到 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$
（A）等价但不相似．
（B）合同但不相似．
（C）相似但不合同．
（D）等价、合同且相似．

235 📝 有解析

第235题

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一组基，则 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是
（A）$(-1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ．
（B）$(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（C）$(0,1,0)^{\mathrm{T}}$ ．
（D）$(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．

236 📝 有解析

第236题

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足条件 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ．
（1）证明 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆．
（2）求秩 $r(\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}+2 \boldsymbol{E})$ ．
（3）如果 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。

237 📝 有解析

第237题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & a & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 等价，求 $a$ 的值并求一个满足要求的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使 $\boldsymbol{P A Q}=\boldsymbol{B}$ ．

238 📝 有解析

第238题

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10$ ， $b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关．
（1）求 $a, b$ 的值．
（2）判断 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？如能就写出表达式．
（3）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的一个极大线性无关组．
（1）求 $a$ 的值；
（2）求满足 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ 的所有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

240 📝 有解析

第240题

设向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,0,-8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(9,6,-25)^{\mathrm{T}}$ ．
向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_{1}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(a, 2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(b, 1,0)^{\mathrm{T}}$ ．
若 $r$（I）$=r$（II）且 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 可由（I）线性表出，求 $a, b$ 的值，并判断向量组（I）（II）是否等价．

241 📝 有解析

第241题

（2017，数农）设向量 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,2)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & b\end{array}\right]$ 的特征向量．
（1）求 $a, b$ 的值．
（2）求方程组 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．

242 📝 有解析

第242题

（2018，数农）已知 $A(1,1), B(2,2), C(a, 1)$ 为坐标平面上的点，其中 $a$ 为参数，问是否存在经过点 $A, B, C$ 的曲线 $y=k_{1} x+k_{2} x^{2}+k_{3} x^{3}$ ？如果存在，求出曲线方程．

243 📝 有解析

第243题

设方程组 $\left\{\begin{aligned}$
x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =5, \\
2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =7, \\
4 x_{1}+a x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4} & =11 .
$\end{aligned}\right.$ （1）当 $a$ 为何值时方程组有解？并求其通解．
（2）求方程组满足 $x_{1}=x_{2}$ 的所有解。

244 📝 有解析

第244题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right]$ ，当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解？此时求方程组的通解．

245 📝 有解析

第245题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，证明 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ ．

246 📝 有解析

第246题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3} .$ （1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
（2）判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化，说明理由．
（3）求秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right)$ 。

247 📝 有解析

第247题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{array}\right]$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $a$ 并求 $\boldsymbol{A}^{n}$ ．

248 📝 有解析

第248题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ t-1 & -1 & t\end{array}\right]$ 有二重特征值．
（1）求 $t$ 的值；
（2） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵？若能，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵。

249 📝 有解析

第249题

设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为3维列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+t \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1} +2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，问矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵，为什么？

250 📝 有解析

第250题

设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,-2,0$ ，矩阵属于特征值 $1,-2$ 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 。
（1）求 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 0 的特征向量．
（2）求二次型 $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ ．
（3）若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，求 $k$ 。

251 📝 有解析

第251题

二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换．
（3）若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 是正定矩阵，求 $k$ ．

252 📝 有解析

第252题

已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+(a+3) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}$ ．求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

253 📝 有解析

第253题

已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ ，化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+t y_{3}^{2}-2 y_{1} y_{2}$ ，求 $t$ 的值，并求正交变换矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 。

254 📝 有解析

第254题

已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ ，化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+t y_{3}^{2}-2 y_{1} y_{2}$ ，求参数 $t$ 满足的条件，并求变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。

255 📝 有解析

第255题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ．
（1）证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．
（2）若 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=25$ ，求 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|$ 的值．
（3）证明 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是正定矩阵．