kaoyan1advanced 线性代数 第225题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，因此 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $4 \times 3$ 矩阵。齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 中未知数个数为 4，系数矩阵的秩 $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = r(\boldsymbol{A})$。

对 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换： $$ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & -5 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -5 \end{bmatrix} $$ 阶梯形矩阵有 3 个非零行，故 $r(\boldsymbol{A}) = 3$。

由于 $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = r(\boldsymbol{A}) = 3 < 4$（未知数个数），所以齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 有非零解，即不是只有零解。因此命题 (A) 错误。

（B）因为 $r(\boldsymbol{A}) = 3 < 4$，存在非零矩阵 $\boldsymbol{B}$（例如 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 的非零解）使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{O}$，故 (B) 正确。 （C）$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) = 3 < 4$，所以 $|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}| = 0$，故 (C) 正确。 （D）$\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = r(\boldsymbol{A}) = 3$，所以 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}| \neq 0$，故 (D) 正确。

错误的命题是 (A)。