kaoyan1advanced 线性代数 第231题
📝 题目
第231题
与二次型 $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是
（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -8\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：二次型$f$的矩阵$A=\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$。
步骤2：求$A$的特征值：$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-3&0\\-3&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-9]=(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+2)$，特征值为$4,2,-2$。
步骤3：既合同又相似，则需特征值相同且符号相同，故对应矩阵为$\begin{bmatrix}4&&\\&2&\\&&-2\end{bmatrix}$，即选项B。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型对应的矩阵
二次型 $f = x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 + 6x_1x_2$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为：
$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$
公式：$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$
提示：注意交叉项系数要除以2
步骤 2/5
目标：计算矩阵的特征值
求解特征方程 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$：
$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -3 & 0 \\ -3 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)^2 - 9] = (\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+2)$$
解得特征值为 $\lambda_1 = 4$，$\lambda_2 = 2$，$\lambda_3 = -2$。
公式：$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$$
提示：注意行列式计算时因式分解正确
步骤 3/5
目标：分析既合同又相似的条件
两个矩阵既合同又相似，则它们必须有相同的特征值（包括正负号），即特征值集合相同。因此，与 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵的特征值应为 $4, 2, -2$。
提示：注意合同要求正负惯性指数相同，相似要求特征值相同。
步骤 4/5
目标：匹配选项
选项 (B) 的矩阵为 $\begin{bmatrix} 4 & & \\ & 2 & \\ & & -2 \end{bmatrix}$，其特征值为 $4, 2, -2$，与 $\boldsymbol{A}$ 的特征值完全相同，因此满足条件。其他选项的特征值均不匹配。
提示：注意合同与相似的条件差异
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，与二次型 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是选项 (B)。
公式：$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
提示：注意合同与相似的条件区别
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