kaoyan1advanced 线性代数 第232题
📝 题目
第232题
已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}$ 和 $\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B y}=y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}$ ，则二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$
（A）相似且合同．
（B）相似但不合同．
（C）合同但不相似．
（D）不合同也不相似。
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：$A$的矩阵为$\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}$，特征值：$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&0&0\\0&\lambda-1&-1\\0&-1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-1]=(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda)=(\lambda-2)\lambda(\lambda-2)=\lambda(\lambda-2)^2$，特征值为$0,2,2$。
步骤2：$B$的矩阵为$\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}$，但$B$是$2\times2$矩阵，$A$是$3\times3$矩阵，二者阶数不同，不能相似或合同。题目中$B$应为$3\times3$矩阵？原题$y^{\mathrm{T}}By=y_1^2+3y_2^2$，缺少$y_3$项，故$B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，特征值为$1,3,0$。
步骤3：$A$与$B$特征值不同，故不相似；但正惯性指数均为2，负惯性指数均为0，故合同。
难度：★★★☆☆