kaoyan1advanced 线性代数 第210题

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📝 题目

第210题

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=$
（A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{B}$ ．
（B） $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$ ．
（C） $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．
（D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}$ ．

💡 答案解析

答案：C
解析：
步骤1：由$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$得$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$可逆，且$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。
步骤2：计算$\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\left((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$。
难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：利用已知条件推导逆矩阵
由 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ 可知 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。
公式：$$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$$
提示：注意可逆矩阵的平方为单位矩阵时，其逆等于自身。
步骤 2/5
目标：将待求表达式变形
计算 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1})^{-1}$，首先将 $\boldsymbol{E}$ 写为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}$，得 $(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}$。
公式：$$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}$$
提示：注意矩阵乘法顺序，提取公因子时右乘逆矩阵
步骤 3/5
目标：应用逆矩阵性质
由逆矩阵的性质 $(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})^{-1}=\boldsymbol{Y}^{-1}\boldsymbol{X}^{-1}$，得 $((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$。
公式：$$(\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y})^{-1}=\boldsymbol{Y}^{-1}\boldsymbol{X}^{-1}$$
提示：注意逆矩阵乘法顺序反转
步骤 4/5
目标：代入已知逆矩阵
由步骤1知 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$，代入得 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$。
提示：注意逆矩阵代入后需化简
步骤 5/5
目标：得出答案
因此 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$，对应选项C。
公式：$$(E+BA^{-1})^{-1}=A(A+B)$$
提示：注意矩阵乘法顺序不可交换

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