kaoyan1advanced 线性代数 第223题

教材习题

📝 题目

第223题

(1991,4)$ 设方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有 $m$ 个方程，$n$ 个未知数且 $m \neq n$ ，则正确命题是
（A）若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。
（B）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解．
（C）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解。
（D）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解。$

💡 答案解析

答案：D
解析：
步骤1：若$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$有无穷多解，则$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})步骤2：A反例：$\boldsymbol{A}$为$2\times3$矩阵，$r(\boldsymbol{A})=2$时$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$只有零解，但$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$可能无解。
步骤3：B反例：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$有非零解时，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$可能无解。
步骤4：C与D矛盾，D正确。
难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析选项D的正确性
若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})
提示：注意无穷多解时秩小于n
步骤 2/5
目标：分析选项A的反例
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $2\times3$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A})=2$，则 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 只有零解。但 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 可能无解（例如 $\boldsymbol{b}$ 不在 $\boldsymbol{A}$ 的列空间中），因此A错误。
提示：注意齐次与非齐次方程解的关系
步骤 3/5
目标：分析选项B的反例
若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 有非零解，则 $r(\boldsymbol{A})
提示：注意非零解与解的存在性无关
步骤 4/5
目标：分析选项C与D的关系
由步骤1知，若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 有非零解，这与C的结论“仅有零解”矛盾，故C错误，D正确。
提示：注意非齐次与齐次解的关系
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上分析，正确命题是D。
提示：注意m≠n时解的情况取决于秩

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