kaoyan1advanced 线性代数 第249题

由已知条件，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + t\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_3$，且$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，故可逆。将三个等式合并为矩阵形式： $$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$ 记$\boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，则$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}^{-1}$，即$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似。

矩阵$\boldsymbol{B}$是上三角矩阵，其特征值为对角线元素：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = t$，$\lambda_3 = 2$。由于$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，它们有相同的特征值，且可对角化性相同。因此，问题转化为判断$\boldsymbol{B}$是否可对角化。

情况1：若$t \neq 1$且$t \neq 2$，则$\boldsymbol{B}$有三个不同的特征值，此时$\boldsymbol{B}$可对角化，从而$\boldsymbol{A}$可对角化。 情况2：若$t = 1$，则特征值$1$为二重根，特征值$2$为单根。计算$\boldsymbol{B} - \boldsymbol{E} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，秩为2，故几何重数$= 3 - 2 = 1 < 2$，$\boldsymbol{B}$不可对角化。 情况3：若$t = 2$，则特征值$2$为二重根，特征值$1$为单根。计算$\boldsymbol{B} - 2\boldsymbol{E} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1，故几何重数$= 3 - 1 = 2$，等于代数重数，$\boldsymbol{B}$可对角化。

由于$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{A}$的可对角化性与$\boldsymbol{B}$一致。由步骤3可知： - 当$t \neq 1$且$t \neq 2$时，$\boldsymbol{A}$可对角化； - 当$t = 1$时，$\boldsymbol{A}$不可对角化； - 当$t = 2$时，$\boldsymbol{A}$可对角化。 但题目未指定$t$的具体值，且通常此类问题考察的是$t$取任意值时是否恒可对角化。由于存在$t=1$使$\boldsymbol{A}$不可对角化，因此$\boldsymbol{A}$不一定能相似于对角矩阵。

矩阵$\boldsymbol{A}$不能相似于对角矩阵，因为当$t=1$时，特征值1的几何重数小于代数重数，$\boldsymbol{A}$不可对角化。