kaoyan1advanced 线性代数 第217题

教材习题

📝 题目

第217题

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，则
（A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．
（B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关．
（C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关．
（D） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．

💡 答案解析

答案：A
解析：
步骤1：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$，$\boldsymbol{A}$为$m\times n$，$\boldsymbol{B}$为$n\times m$，则$m\leq n$。
步骤2：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$表明$\boldsymbol{A}$行满秩（$r(\boldsymbol{A})=m$），故$\boldsymbol{A}$的行向量组线性无关；同时$\boldsymbol{B}$列满秩（$r(\boldsymbol{B})=m$），故$\boldsymbol{B}$的列向量组线性无关，但行向量组线性无关需$m=n$，不一定成立。
步骤3：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$，$\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$，同理得$\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$行满秩，即$\boldsymbol{B}$的列向量组线性无关。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析矩阵维度与秩的关系
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}_m$（$m$ 阶单位矩阵）。由矩阵乘法规则，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 的秩满足 $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) \leq \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$。而 $r(\boldsymbol{E}_m)=m$，因此 $m \leq \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\} \leq m$，故 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=m$。同时，$\boldsymbol{A}$ 的行数为 $m$，列数为 $n$，且 $r(\boldsymbol{A})=m$，所以 $m \leq n$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) \leq \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$$
提示：注意秩不等式取等条件
步骤 2/5
目标：判断A的行向量组线性无关性
由于 $r(\boldsymbol{A})=m$，而 $\boldsymbol{A}$ 有 $m$ 行，所以 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关（行满秩）。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = m$$
提示：行满秩时行向量组线性无关
步骤 3/5
目标：判断B的列向量组线性无关性
由于 $r(\boldsymbol{B})=m$，而 $\boldsymbol{B}$ 有 $m$ 列，所以 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关（列满秩）。
提示：列满秩时列向量组线性无关
步骤 4/5
目标：利用转置分析B的行向量组
由 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ 两边取转置得 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$。此时 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $n \times m$ 矩阵。同理可得 $r(\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}})=m$，即 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 的行向量组线性无关，而 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 的行向量对应 $\boldsymbol{B}$ 的列向量，故 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关（与步骤3一致）。但 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关需要 $r(\boldsymbol{B})=n$，而 $n \geq m$，不一定成立，因此 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组不一定线性无关。
公式：$$\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$$
提示：注意转置后行与列的对应关系
步骤 5/5
目标：综合判断选项
选项（A）说 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关，$\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关。但 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关需要 $r(\boldsymbol{A})=n$，而 $r(\boldsymbol{A})=m \leq n$，当 $m
提示：注意矩阵秩与向量组线性无关的关系

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