kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
【基础篇】第29题（选择题）
29．设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+\sin ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)} \mathrm{d} x=$ ．
（A）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$
（B）$\displaystyle -\arctan \frac{\pi}{4}$
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
（D） $\displaystyle \arctan \frac{\pi}{4}$
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{\cos t}{1+\sin^2 t} dt$，则$\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}$。
步骤2：所求积分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f'(x)}{1+f^2(x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+f^2(x)} df(x) = \arctan f(x) \big|_0^{\frac{\pi}{2}}$。
步骤3：计算$\displaystyle f(\frac{\pi}{2})=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{1+\sin^2 t} dt = \int_0^1 \frac{du}{1+u^2} = \arctan u\big|_0^1 = \frac{\pi}{4}$，$f(0)=0$。故原积分$\displaystyle =\arctan\frac{\pi}{4} - \arctan 0 = \arctan\frac{\pi}{4}$。但选项C为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，D为$\displaystyle \arctan\frac{\pi}{4}$。注意$\displaystyle \arctan\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{4}$，因为$\displaystyle \frac{\pi}{4}\approx0.785$，$\displaystyle \tan\frac{\pi}{4}=1$，而$\displaystyle \arctan\frac{\pi}{4}\approx0.665$。故答案应为D。但检查：$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f'(x)}{1+f^2(x)} dx = \arctan f(\frac{\pi}{2}) = \arctan\frac{\pi}{4}$，对应D。
难度：★★☆☆☆