kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
【基础篇】第30题（选择题）
30．设 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{x(1+x)} \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ ．
（A）$\displaystyle \frac{1}{1-\ln 2}$
（B）$\displaystyle \frac{1}{\ln 2}$
（C）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{1-\ln 2}$
（D）$\displaystyle \frac{1}{(1-\ln 2) \mathrm{e}}$
💡 答案解析
答案：A
解析：步骤1：设$A=\int_1^{+\infty} f(x) dx$，则$\displaystyle f(x)=x^3 e^{-x^2} + \frac{A}{x(1+x)}$。
步骤2：两边在$[1,+\infty)$上积分：$\displaystyle A = \int_1^{+\infty} x^3 e^{-x^2} dx + A \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x(1+x)}$。
步骤3：计算第一个积分：令$u=x^2$，$du=2x dx$，$\displaystyle \int_1^{+\infty} x^3 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} u e^{-u} du = \frac{1}{2} [-(u+1)e^{-u}]_1^{+\infty} = \frac{1}{2} (0 + 2e^{-1}) = \frac{1}{e}$。
步骤4：计算第二个积分：$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x(1+x)} = \int_1^{+\infty} (\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}) dx = \lim_{b\to+\infty} [\ln\frac{x}{1+x}]_1^b = \lim_{b\to+\infty} (\ln\frac{b}{1+b} - \ln\frac{1}{2}) = 0 + \ln 2 = \ln 2$。
步骤5：代入得$\displaystyle A = \frac{1}{e} + A \ln 2$，解得$\displaystyle A(1-\ln 2) = \frac{1}{e}$，$\displaystyle A = \frac{1}{e(1-\ln 2)}$。对应选项D。
难度：★★★☆☆