kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
【强化篇】第12题（解答题）
12．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内非负连续，且
$\int_{0}^{x} t f\left(x^{2}\right) f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\sin ^{2} x^{2}$
求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{1}{\pi}$
解析：
步骤1：令$u=x^2-t^2$，则原式化为$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{x^2}f(x^2)f(u)\,du=\sin^2 x^2$。
步骤2：两边对$x^2$求导得$\displaystyle \frac{1}{2}f(x^2)f(x^2)=2\sin x^2\cos x^2$，即$f^2(x^2)=2\sin(2x^2)$，故$f(x)=\sqrt{2\sin(2x)}$。
步骤3：平均值$\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sqrt{2\sin(2x)}\,dx=\frac{1}{\pi}$。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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