kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
【强化篇】第13题（填空题）
13．已知 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{2e}{1+e}$
解析：
步骤1：由原函数定义，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}\right)'=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2(1+e^{\frac{1}{x}})^2}$。
步骤2：函数在$[-1,1]$上的平均值$\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{1-(-1)}\int_{-1}^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}\right]_{-1}^{1}$。
步骤3：计算得$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+e}-\frac{1}{1+e^{-1}}\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{2e}{1+e}$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
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