kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
【基础篇】第3题（填空题）
3．设函数 $f(u)$ 可导，$z=y f\left(x^{y^{2}}\right)$ ，则 $\displaystyle 2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题目条件一步步来推导。题目中给出的函数是
$$
z = y f\left(x^{y^{2}}\right)
$$
其中 $ f $ 可导。我们需要计算
$$
2x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}
$$
并化简。
---
**第一步：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$**
令 $ u = x^{y^{2}} $，则
$$
z = y f(u)
$$
对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}
$$
而
$$
u = x^{y^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} = y^{2} x^{y^{2} - 1}
$$
所以
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y f'(u) \cdot y^{2} x^{y^{2} - 1} = y^{3} x^{y^{2} - 1} f'(x^{y^{2}})
$$
---
**第二步：求 $\frac{\partial z}{\partial y}$**
这里 $z = y f(u)$，对 $y$ 求偏导要用乘法法则：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = f(u) + y \cdot f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}
$$
而
$$
u = x^{y^{2}} = e^{y^{2} \ln x}
$$
所以
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = x^{y^{2}} \cdot 2y \ln x
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = f(x^{y^{2}}) + y \cdot f'(x^{y^{2}}) \cdot (2y \ln x \cdot x^{y^{2}})
$$
即
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = f(x^{y^{2}}) + 2y^{2} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}})
$$
---
第三步：代入表达式
先算 $2x \frac{\partial z}{\partial x}$：
$$
2x \cdot \left( y^{3} x^{y^{2} - 1} f'(x^{y^{2}}) \right) = 2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}})
$$
再算 $y \frac{\partial z}{\partial y}$：
$$
y \cdot \left[ f(x^{y^{2}}) + 2y^{2} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}}) \right] = y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}})
$$
---
第四步：相加
$$
2x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}
= 2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}}) + y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}})
$$
提取公因式 $2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}})$ 的第一项和第三项：
$$
= y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}}) (1 + \ln x)
$$
注意这里 $x^{y^{2}} = u$，而原题没有更多条件，所以这个形式就是最终化简结果。不过我们观察一下，如果题目期望一个更简洁的答案，往往这种题的结果正好等于 $z$ 本身或者其倍数。我们检查一下：
$z = y f(u)$，而这里第一项就是 $z$，但后面还有一项。所以不是简单等于 $z$。
我们再看看是否有恒等式可化简。其实这里 $1+\ln x$ 不能进一步消掉，所以保留即可。
---
因此最终答案为：
答案：
$$
y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} (1+\ln x) f'(x^{y^{2}})
$$
解析：先分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导，再代入组合表达式，合并同类项得到结果。
难度：★☆☆☆☆