kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
【强化篇】第3题（选择题）
3．已知函数 $f(x, y)=x|x|+x|y|+y|x|+y|y|$ ，则以下命题：
（1） $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=f(0,0)$ ；
（2）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=0$ ；
（3）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ；
（4）$\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=0$ ．
正确命题的个数为（ ）。
（A） 1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
💡 答案解析
答案：B
解析：
首先，函数 $ f(x, y)=x|x|+x|y|+y|x|+y|y| $，在原点处 $ f(0,0)=0 $。
（1）考察极限：当 $ (x,y)\to(0,0) $ 时，每一项都是二次型或更高阶小量，例如 $ x|x| = O(|x|^2) $，类似地其他项也都是二阶小量，因此极限为0，等于函数值，故（1）正确。
（2）求偏导：
$$
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(0,0)} = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
$$
代入 $ y=0 $ 得 $ f(h,0)=h|h|+0+0+0 = h|h| $，所以
$$
\frac{h|h|}{h} = |h| \to 0
$$
故（2）正确。
（3）求对 y 的偏导：
$$
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(0,0)} = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
$$
代入 $ x=0 $ 得 $ f(0,k)=0+0+0+k|k| = k|k| $，所以
$$
\frac{k|k|}{k} = |k| \to 0
$$
故偏导为0，不是1，因此（3）错误。
（4）全微分：若函数在原点可微，则全微分为
$$
df = f_x(0,0)\,dx + f_y(0,0)\,dy = 0\,dx + 0\,dy = 0
$$
但需要验证可微性。考虑增量
$$
\Delta f = f(h,k) - f(0,0) = h|h|+h|k|+k|h|+k|k|
$$
与线性近似 $ 0\cdot h+0\cdot k = 0 $ 的差为
$$
\Delta f - 0 = h|h|+h|k|+k|h|+k|k|
$$
除以 $ \sqrt{h^2+k^2} $ 后，当 $ (h,k)\to(0,0) $ 时，例如取 $ h=k=t>0 $，则
$$
\frac{t^2+t^2+t^2+t^2}{\sqrt{2}\,t} = \frac{4t^2}{\sqrt{2}\,t} = \frac{4}{\sqrt{2}} t \to 0
$$
但若取 $ h=t, k=0 $，则得 $ t|t|/|t| = |t| \to 0 $，似乎没问题。然而需检查所有路径，实际上每一项都是二阶小量，除以一阶小量后趋于0，因此函数在原点可微，全微分为0，故（4）正确。
综上，正确命题为（1）、（2）、（4），共3个。但注意（3）错误，所以正确个数是3。
难度：★☆☆☆☆