kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
【基础篇】第12题（填空题）
12．设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=1(z \geqslant 0)$ 的上卯，则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{1-x^{2}-2 z^{2}} d x d y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
解析：
步骤1：曲面$\Sigma: x^2+y^2+2z^2=1, z\geq 0$，投影到$xy$平面为$x^2+y^2\leq 1$。
步骤2：被积函数$\sqrt{1-x^2-2z^2} = \sqrt{y^2} = |y|$，由对称性，$\displaystyle \iint_\Sigma |y| dxdy = 2\int_0^1 dy \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} y dx = \frac{\pi}{2}$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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