kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
【基础篇】第9题（填空题）
9．已知 $\boldsymbol{A}$ 为2阶方阵，可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}]$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} A \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right], Q=[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}]$ ，则 $Q^{-1} \boldsymbol{A}^{*} Q=$
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
解析：步骤1：由$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，知$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2$，且$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$为对应特征向量。
步骤2：$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，$|\boldsymbol{A}|=2$，故$\boldsymbol{A}^{*}$的特征值为$\displaystyle \frac{2}{1}=2$和$\displaystyle \frac{2}{2}=1$，对应特征向量仍为$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$。
步骤3：$\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}]$，则$\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定矩阵A的特征值和特征向量
由已知条件P^{-1}AP=diag(1,2)可知，A的特征值为1和2，对应的特征向量分别为α和β。
公式：P^{-1}AP = diag(1,2)
提示：注意P的列向量是特征向量，顺序与特征值对应。
步骤 2/3
目标：计算伴随矩阵A*的特征值
A的行列式|A|=1×2=2。A* = |A|A^{-1}，因此A*的特征值为|A|/λ，即2/1=2和2/2=1，对应的特征向量仍为α和β。
公式：A* = |A|A^{-1}, 特征值 = |A|/λ
提示：伴随矩阵的特征值与原矩阵特征值的关系。
步骤 3/3
目标：构造矩阵Q并求Q^{-1}A*Q
Q = [β, α]，即交换了P的列顺序。由于特征向量顺序改变，对角矩阵的对角元也相应交换，因此Q^{-1}A*Q = diag(2,1)。
公式：Q^{-1}A*Q = diag(2,1)
提示：注意特征向量顺序与特征值顺序的对应关系。
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