kaoyan1basic 线性代数 第10题
📝 题目
【基础篇】第10题（选择题）
10．设 1 与 -1 是矩阵
$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}$
3 & 1 & -2 \\
-a & -1 & a \\
4 & 1 & -3
$\end{array}\right]$
的特征值，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，则 $a=$ ．
（A）-1
（B） 0
（C） 1
（D） 2
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：将$\lambda=1$代入特征多项式$|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}|=0$，得$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -a & -2 & a \\ 4 & 1 & -4 \end{vmatrix}=0$，计算得$0=0$恒成立。
步骤2：将$\lambda=-1$代入，得$\begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ -a & 0 & a \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}=0$，解得$a=0$或$a=2$。
步骤3：当$a=0$时，$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}$，特征值$1,-1,-1$，二重特征值$-1$的几何重数为$1$，不可对角化。
步骤4：当$a=2$时，$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}$，特征值$1,-1,-1$，二重特征值$-1$的几何重数为$2$，可对角化，故$a=2$。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知特征值建立方程
将λ=1代入特征多项式|A-λE|=0，得到行列式|2 1 -2; -a -2 a; 4 1 -4|=0，计算得0=0恒成立，说明λ=1是特征值。
公式：|A-λE|=0
提示：代入后行列式恒为零，说明λ=1确实为特征值，但未提供a的信息。
步骤 2/3
目标：利用另一个特征值建立方程
将λ=-1代入|A-λE|=0，得到行列式|4 1 -2; -a 0 a; 4 1 -2|=0，计算得4a-2a=0，即2a=0，解得a=0或a=2。
公式：|A-λE|=0
提示：注意行列式化简，第二行与第三行成比例或直接计算。
步骤 3/3
目标：检验可对角化条件
当a=0时，矩阵A的特征值为1,-1,-1，二重特征值-1的几何重数为1（因为秩(A+E)=2，所以几何重数=3-2=1），小于代数重数2，不可对角化。当a=2时，特征值仍为1,-1,-1，但此时秩(A+E)=1，几何重数=2，等于代数重数，可对角化。因此a=2。
公式：几何重数 = n - rank(A-λE)
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
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