kaoyan1basic 高等数学 第203题
📝 题目
第203题
下列四个反常积分
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ．
中，收敛的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：对于(1)：$x\to 1^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{1}{\sqrt{2(x-1)}}$，发散；$x\to+\infty$ 时，$\displaystyle \sim \frac{1}{x}$，发散。故(1)发散。
步骤2：对于(2)：$x\to 1^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \sim \frac{1}{\sqrt{x-1}}$，发散。故(2)发散。
步骤3：对于(3)：$x\to 1^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{1}{\sqrt{2(x-1)}}$，发散；$x\to+\infty$ 时，$\displaystyle \sim \frac{1}{x^3}$，收敛。瑕点处发散，故(3)发散。
步骤4：对于(4)：$x\to 1^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x(x^2-1)} \sim \frac{1}{2(x-1)}$，发散。故(4)发散。
重新判断：
(1) 仅考虑无穷限：$x\to+\infty$ 时 $\displaystyle \sim \frac{1}{x}$，发散；瑕点 $x=1$ 处 $\displaystyle \sim \frac{1}{\sqrt{2(x-1)}}$，发散。整体发散。
(2) 瑕点 $x=1$ 处发散，整体发散。
(3) 瑕点 $x=1$ 处发散，整体发散。
(4) 瑕点 $x=1$ 处发散，整体发散。
实际上，需同时考虑瑕点和无穷限，四个均发散，故收敛个数为0。但选项无0，重新检查：
(1) 仅瑕点发散，无穷限发散，发散。
(2) 仅瑕点发散，发散。
(3) 瑕点发散，无穷限收敛，但瑕点发散导致整体发散。
(4) 瑕点发散，无穷限收敛，但瑕点发散导致整体发散。
因此收敛个数为0，但题目选项无0，可能需重新审视。
正确判断：
(1) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$：令 $x=\sec t$，得 $\int_{0}^{\pi/2}\sec t dt$ 发散。
(2) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}}$：令 $x=\sec^2 t$，得 $\int_{0}^{\pi/2}2\sec t dt$ 发散。
(3) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}$：令 $x=\sec t$，得 $\int_{0}^{\pi/2}\cos t dt = 1$，收敛。
(4) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x(x^2-1)}$：令 $x=\sec t$，得 $\int_{0}^{\pi/2}\cot t dt$ 发散。
故仅(3)收敛，个数为1。
答案：A
难度：★★★☆☆