kaoyan1basic 高等数学 第204题
📝 题目
第204题
设有下列命题
（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。
（4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：命题(1)错误，因为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ 需两个极限均存在，奇函数不能保证收敛。
步骤2：命题(2)正确，$\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}f(x)dx$ 存在即柯西主值存在，但反常积分收敛需两个单侧极限分别存在，此处条件不足，故错误。实际上，该命题是柯西主值定义，但反常积分收敛要求更强，故(2)错误。
步骤3：命题(3)正确，例如 $f(x)=1/x$，$g(x)=-1/x$ 在 $[1,+\infty)$ 均发散，但和为零收敛。
步骤4：命题(4)正确，因为 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛当且仅当两个单侧积分均收敛。
故正确个数为2。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断命题(1)的正确性
奇函数在对称区间上的积分可能发散，例如 f(x)=x，∫_{-∞}^{+∞} x dx 发散。因此命题(1)错误。
提示：注意反常积分收敛需两个单侧极限均存在，奇函数不能保证收敛。
步骤 2/5
目标：判断命题(2)的正确性
lim_{R→+∞} ∫_{-R}^{R} f(x) dx 存在称为柯西主值存在，但反常积分 ∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx 收敛要求 ∫_{-∞}^{0} f(x) dx 和 ∫_{0}^{+∞} f(x) dx 均收敛。例如 f(x)=x，柯西主值为0，但积分发散。故命题(2)错误。
提示：区分柯西主值与反常积分收敛。
步骤 3/5
目标：判断命题(3)的正确性
例如 f(x)=1/x，g(x)=-1/x 在 [1,+∞) 上积分均发散，但 f+g=0 收敛。故命题(3)正确。
提示：发散积分之和可能收敛。
步骤 4/5
目标：判断命题(4)的正确性
∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx 收敛当且仅当 ∫_{-∞}^{0} f(x) dx 和 ∫_{0}^{+∞} f(x) dx 均收敛。若两者均发散，则整体积分发散，但命题说“不能确定”是错误的。实际上，若两者均发散，则整体积分必发散。故命题(4)错误。
提示：注意：两个单侧积分均发散时，整体积分一定发散。
步骤 5/5
目标：统计正确命题个数
只有命题(3)正确，故正确个数为1。
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