kaoyan1basic 高等数学 第267题
📝 题目
## 第267题 (高等数学 - 选择题)
设积分$D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：区域$D$关于$x$轴、$y$轴对称，且被积函数为偶函数，故$I = 4 \iint_{D_1} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) dx dy$，其中$D_1$为第一象限部分：$\sqrt{x} + \sqrt{y} \le 1$，$x \ge 0, y \ge 0$。
步骤2：令$u = \sqrt{x}$，$v = \sqrt{y}$，则$x = u^2$，$y = v^2$，雅可比行列式$J = 4uv$，区域变为$u \ge 0, v \ge 0, u+v \le 1$。
步骤3：
$$
I = 4 \iint_{u+v \le 1, u,v \ge 0} (u+v) \cdot 4uv \, du dv = 16 \int_0^1 u \, du \int_0^{1-u} v(u+v) dv.
$$
步骤4：先对$v$积分：
$$
\int_0^{1-u} v(u+v) dv = \frac{u(1-u)^2}{2} + \frac{(1-u)^3}{3}.
$$
再对$u$积分：
$$
16 \int_0^1 \left[ \frac{u^2(1-u)^2}{2} + \frac{u(1-u)^3}{3} \right] du = 16 \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{60} \right) = \frac{8}{15}.
$$
难度：★★★☆☆