kaoyan1basic 高等数学 第268题
📝 题目
## 第268题 (高等数学 - 选择题)
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：区域$D$为环形区域$1 \le r \le 3$，且由$x \le \sqrt{3} y$得$\displaystyle \theta \ge \frac{\pi}{6}$，由$y \le \sqrt{3} x$得$\displaystyle \theta \le \frac{\pi}{3}$，故$\displaystyle \theta \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$。
步骤2：被积函数$\displaystyle \arctan \frac{y}{x} = \theta$，在极坐标下：
$$
\iint_D \theta \, d\sigma = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \theta \, d\theta \int_1^3 r \, dr = \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{\pi/6}^{\pi/3} \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_1^3.
$$
步骤3：计算得
$$
\frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{9} - \frac{\pi^2}{36} \right) \cdot \frac{1}{2} (9 - 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{12} \cdot 4 = \frac{\pi^2}{6}.
$$
难度：★★☆☆☆