kaoyan1basic 高等数学 第273题
📝 题目
## 第273题 (高等数学 - 选择题)
设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$
（A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：由积分中值定理，存在$(\xi, \eta) \in x^2+y^2 \le r^2$，使得
$$
\iint_{x^2+y^2 \le r^2} f(x,y) dx dy = f(\xi, \eta) \cdot \pi r^2.
$$
步骤2：当$r \to 0^+$时，$(\xi, \eta) \to (0,0)$，故$f(\xi, \eta) \to f(0,0)$。
步骤3：分母$g(r^2)$，由$g(0)=0$，$g'(0)=a \neq 0$，得$g(r^2) \sim a r^2$（$r \to 0$）。
步骤4：极限为
$$
\lim_{r \to 0^+} \frac{f(0,0) \pi r^2}{a r^2} = \frac{\pi}{a} f(0,0).
$$
难度：★★☆☆☆