kaoyan1basic 高等数学 第274题
📝 题目
## 第274题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围，则 $f(x, y)$ 等于
（A）$x y$ ．
（B） $2 x y$ ．
（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．
（D）$x y+1$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：设$A = \iint_D f(u,v) du dv$，则$f(x,y) = xy + A$。
步骤2：两边在$D$上积分：
$$
A = \iint_D (xy + A) dx dy = \iint_D xy \, dx dy + A \cdot \text{面积}(D).
$$
步骤3：$D$由$y=0$，$y=x^2$，$x=1$围成，面积$\displaystyle \iint_D dx dy = \int_0^1 dx \int_0^{x^2} dy = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$。
步骤4：$\displaystyle \iint_D xy \, dx dy = \int_0^1 x dx \int_0^{x^2} y dy = \int_0^1 x \cdot \frac{x^4}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^5 dx = \frac{1}{12}$。
步骤5：代入得$\displaystyle A = \frac{1}{12} + \frac{1}{3}A$，解得$\displaystyle A = \frac{1}{8}$，故$\displaystyle f(x,y) = xy + \frac{1}{8}$。
难度：★★☆☆☆