kaoyan1basic 高等数学 第627题
📝 题目
## 第627题 (高等数学 - 选择题)
在如下四个级数
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ．
中，条件收敛的级数是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（1），（4）．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：(1) $\displaystyle \sum (-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$，由Leibniz判别法，$\displaystyle \frac{\ln n}{n}$递减趋于0，条件收敛。
步骤2：(2) $\displaystyle \sum \frac{|\sin n^2| \ln^3 n}{\sqrt[3]{n^4+1}} \leq \sum \frac{\ln^3 n}{n^{4/3}}$，绝对收敛。
步骤3：(3) $\displaystyle \sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n} - (-1)^n}$，通项不单调，且$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n} - (-1)^n} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$，条件收敛但需验证单调性，实际发散。
步骤4：(4) $\displaystyle \sum \left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{(-1)^n}{n^2}\right)$，前一部分条件收敛，后一部分绝对收敛，整体条件收敛。
难度：★★★☆☆