kaoyan1basic 高等数学 第628题
📝 题目
## 第628题 (高等数学 - 选择题)
下列四个级数中，发散的级数是
（A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ．
（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ．
（C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）．
（D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：(A) $\displaystyle \sum \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$，取对数判别，发散。
步骤2：(B) $\displaystyle \sum \frac{\sqrt[n]{n}}{2^n}$，$\sqrt[n]{n} \to 1$，与几何级数比较，收敛。
步骤3：(C) $\displaystyle \sum \frac{1}{n \ln^\alpha n (\ln \ln n)^\beta}$，$\alpha>1$时收敛。
步骤4：(D) $\displaystyle \sum \sin[(n+\frac{1}{\ln n})\pi] = \sum (-1)^n \sin(\frac{\pi}{\ln n})$，通项$\displaystyle \sim \frac{\pi}{\ln n}$，不趋于0，发散。
难度：★★★☆☆