kaoyan1basic 高等数学 第643题
📝 题目
## 第643题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，$\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于
（A）$\pi f^{\prime}(0)$ ．
（B）$\pi f(0)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：步骤1：用柱坐标，$\iiint_{\Omega}f(x^2+y^2)\mathrm{d}v=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^t r\mathrm{d}r\int_0^1 f(r^2)\mathrm{d}z=2\pi\int_0^t r f(r^2)\mathrm{d}r$。步骤2：令$u=r^2$，则原式$=\pi\int_0^{t^2}f(u)\mathrm{d}u$。步骤3：极限$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{1}{t^4}\pi\int_0^{t^2}f(u)\mathrm{d}u=\pi\lim_{t\to0^+}\frac{f(t^2)\cdot2t}{4t^3}=\pi\lim_{t\to0^+}\frac{f(t^2)}{2t^2}=\frac{\pi}{2}f'(0)$。
难度：★★★☆☆