kaoyan1basic 高等数学 第644题
📝 题目
## 第644题 (高等数学 - 选择题)
下列结论
（1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ．
（3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ．
中正确的条数为
（A） 1 条。
（B） 2 条．
（C） 3 条．
（D） 4 条．
💡 答案解析
答案：A
解析：步骤1：(1)正确，$\oint_{x^2+y^2=a^2}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=a^2\cdot2\pi a=2\pi a^3$。步骤2：(2)错误，$x^2+y^2$在圆内不是常数，不能提出。步骤3：(3)错误，球面上$x^2+y^2+z^2=a^2$为常数，但$\oiint\mathrm{d}S=4\pi a^2$，结果为$4\pi a^4$，原式正确，但计算过程有误？检查：原式$a^2\oiint\mathrm{d}S=a^2\cdot4\pi a^2=4\pi a^4$，正确。步骤4：(4)错误，球体内$x^2+y^2+z^2$不是常数。故只有(1)和(3)正确，但题目中(3)写为$4\pi a^4$正确，实际正确条数为2？重新核对：(1)正确，(2)错误，(3)正确，(4)错误，共2条。但答案选项A为1条，B为2条，故应选B。注意原题(3)结果$4\pi a^4$正确，故正确条数为2。
难度：★★☆☆☆