kaoyan1basic 高等数学 第645题
📝 题目
## 第645题 (高等数学 - 选择题)
设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则
（A）$I_{1}
💡 答案解析
答案：D
解析：步骤1：利用格林公式，$\displaystyle I_k=\iint_{D_k}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$，其中$P=3yx^2+y^3$，$Q=3x+y$。步骤2：$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=3$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=3x^2+3y^2$，故被积函数为$3-3(x^2+y^2)=3(1-x^2-y^2)$。步骤3：$D_1:x^2+y^2\leq1$，$I_1=3\iint_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma>0$；$\displaystyle D_2:\frac{x^2}{2}+y^2\leq1$，部分区域$x^2+y^2>1$，积分可能为负；$D_3:x^2+y^2\leq2$，大部分区域$x^2+y^2>1$，积分更负。故$I_1>0>I_2>I_3$，即$I_2