kaoyan1basic 高等数学 第18题

答案：增区间 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,+\infty)$，减区间 $(-1,0)$；极大值 $f(-1)=3$，极小值 $f(0)=2$；拐点 $\displaystyle (-\frac{1}{3},\frac{52}{27})$
解析：
步骤1：$f(x)=ax^3+x^2+2$，$f'(x)=3ax^2+2x$。由极值点 $x=0$ 和 $x=-1$，得 $f'(0)=0$ 恒成立，$f'(-1)=3a-2=0$，解得 $\displaystyle a=\frac{2}{3}$。
步骤2：$f'(x)=2x^2+2x=2x(x+1)$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=-1,0$。
步骤3：$f''(x)=4x+2$，$f''(-1)=-2<0$，极大值 $\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{3}+1+2=\frac{7}{3}$？计算：$\displaystyle f(-1)=\frac{2}{3}(-1)+1+2=-\frac{2}{3}+3=\frac{7}{3}$；$f''(0)=2>0$，极小值 $f(0)=2$。
步骤4：$f'(x)>0$ 得 $x<-1$ 或 $x>0$，增区间；$f'(x)<0$ 得 $-1步骤5：令 $f''(x)=0$ 得 $\displaystyle x=-\frac{1}{3}$，$\displaystyle f(-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}(-\frac{1}{27})+\frac{1}{9}+2=-\frac{2}{81}+\frac{1}{9}+2=-\frac{2}{81}+\frac{9}{81}+2=\frac{7}{81}+2=\frac{169}{81}$？计算：$\displaystyle -\frac{2}{81}+\frac{9}{81}=\frac{7}{81}$，加2得 $\displaystyle \frac{169}{81}$，即 $\displaystyle \frac{169}{81}$，化简为 $\displaystyle \frac{169}{81}$。
难度：★★★☆☆