kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
【基础篇】第19题（选择题）
19．设 $f(x)=n x(1-x)^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{n}\right)$ ，且记 $M(n)=\max _{x \in[0,1]} f(x)$ ，则必有（ ）。
（A） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\mathrm{e}$
（B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\frac{1}{\mathrm{e}}$
（C） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=0$
（D） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\infty$
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：求最大值点。令$f'(x)=n(1-x)^{n-1}[1-(n+1)x]=0$，得$\displaystyle x=\frac{1}{n+1}$。
步骤2：计算最大值$\displaystyle M(n)=f\left(\frac{1}{n+1}\right)=n\cdot\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$。
步骤3：求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1\cdot\frac{1}{\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求最大值点
对f(x)求导，令导数为0，得到x=1/(n+1)。
公式：f'(x)=n(1-x)^{n-1}[1-(n+1)x]=0
提示：注意求导时使用乘积法则和链式法则。
步骤 2/3
目标：计算最大值M(n)
将x=1/(n+1)代入f(x)，得到M(n)=n/(n+1)*(n/(n+1))^n。
公式：M(n)=n/(n+1)*(n/(n+1))^n
提示：化简时注意指数运算。
步骤 3/3
目标：求极限
将M(n)改写为(n/(n+1))*(1/(1+1/n)^n)，利用重要极限lim(1+1/n)^n=e，得到极限为1/e。
公式：lim_{n→∞} M(n)=lim_{n→∞} n/(n+1) * 1/(1+1/n)^n = 1 * 1/e = 1/e
提示：注意极限运算的拆分。
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