kaoyan2advanced 线性代数 第286题
📝 题目
第286题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是 4 阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则下列命题中正确的一共有
（1） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。
（2） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量的极大线性无关组．
（3）秩 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ 。
（4） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量的极大线性无关组．
（A） 4 个．
（B） 3 个．
（C） 2 个．
（D） 1 个．
💡 答案解析
答案：D
解析：步骤1：由基础解系含2个向量，知$r(\boldsymbol{A})=4-2=2$，且$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关，极大无关组含2个向量。
步骤2：由$\boldsymbol{\eta}_1=(3,1,-2,2)^T$，得$3\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$；由$\boldsymbol{\eta}_2=(0,-1,2,1)^T$，得$-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$。两式相减得$3\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-4\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$，但无法直接推出$\boldsymbol{\alpha}_1$可由$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，故（1）错误。
步骤3：极大无关组不唯一，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3$不一定线性无关，故（2）错误；$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$也不一定是极大无关组，故（4）错误。
步骤4：考虑向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4$，其秩等于$r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4)$。由$-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$得$\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3$，则$\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_3-(\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3)=-\boldsymbol{\alpha}_2+3\boldsymbol{\alpha}_3$。又$3\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$代入$\boldsymbol{\alpha}_4$得$3\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3+2(\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3)=3\boldsymbol{\alpha}_1+3\boldsymbol{\alpha}_2-6\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$，即$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$。则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关，且$r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2)=2$（否则若$r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2)=1$，则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$成比例，代入得$\boldsymbol{\alpha}_3$也可表示，但$r(\boldsymbol{A})=2$，故$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$线性无关）。则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4$的秩为$r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+3\boldsymbol{\alpha}_3)=2$，故（3）正确。
步骤5：综上，只有1个命题正确。
难度：★★★★☆