kaoyan2advanced 线性代数 第287题

教材习题

📝 题目

第287题

$287(1991,4)$ 设方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有 $m$ 个方程，$n$ 个未知数且 $m \neq n$ ，则正确命题是
（A）若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。
（B）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解．
（C）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解．
（D）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解。

💡 答案解析

答案：D
解析：步骤1：分析选项（A），若$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$只有零解，则$r(\boldsymbol{A})=n$，但$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$有解还需$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$，不一定成立，故（A）错误。
步骤2：分析选项（B），若$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$有非零解，则$r(\boldsymbol{A})步骤3：分析选项（C），若$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$有无穷多解，则$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})步骤4：分析选项（D），若$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$有无穷多解，则$r(\boldsymbol{A})难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析选项（A）
若 $\boldsymbol{Ax}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $r(\boldsymbol{A})=n$。但 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有解还需满足 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$，而 $m \neq n$ 时 $r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$ 可能大于 $r(\boldsymbol{A})$，故不一定有唯一解，选项（A）错误。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$$
提示：注意系数矩阵与增广矩阵秩的关系
步骤 2/5
目标：分析选项（B）
若 $\boldsymbol{Ax}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $r(\boldsymbol{A})
公式：$$r(A) < r(A|b) \Rightarrow Ax=b \text{无解}$$
提示：非零解≠无穷多解，需验证相容性
步骤 3/5
目标：分析选项（C）
若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})
公式：$$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})
提示：注意无穷多解时齐次方程必有非零解
步骤 4/5
目标：分析选项（D）
若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})
公式：$$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})
提示：注意无穷多解的条件是秩小于未知数个数
步骤 5/5
目标：得出答案
根据以上分析，正确选项为（D）。
提示：注意秩的条件与解的关系

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