kaoyan3basic 高等数学 第6题
📝 题目
第6题
$\displaystyle 6 \quad I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\frac{1}{2}$
解析：
步骤1：将分子中的函数用泰勒展开。当 $x \to 0$ 时，有
$$
\sin x^2 = x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10}), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7), \quad 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6).
$$
步骤2：代入分子：
$$
x \sin x^2 = x \left( x^2 - \frac{x^6}{6} + \cdots \right) = x^3 - \frac{x^7}{6} + O(x^{11}),
$$
$$
2(1 - \cos x) \sin x = 2 \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6) \right) \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7) \right).
$$
步骤3：计算 $2(1 - \cos x) \sin x$ 的展开：
先乘括号内：
$$
\left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \right) \left( x - \frac{x^3}{6} \right) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{12} - \frac{x^5}{24} + O(x^7) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{8} + O(x^7),
$$
再乘以2得：
$$
2(1 - \cos x) \sin x = x^3 - \frac{x^5}{4} + O(x^7).
$$
步骤4：分子为
$$
x \sin x^2 - 2(1 - \cos x) \sin x = \left( x^3 - \frac{x^7}{6} + \cdots \right) - \left( x^3 - \frac{x^5}{4} + O(x^7) \right) = \frac{x^5}{4} + O(x^7).
$$
步骤5：原极限
$$
I = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{4} + O(x^7)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{4} + O(x^3) \right) = 0.
$$
注意：上述计算有误，应重新检查展开阶数。
步骤1（修正）：正确展开至足够阶数：
$$
\sin x^2 = x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10}), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + O(x^9), \quad 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + O(x^8).
$$
步骤2（修正）：
$$
x \sin x^2 = x^3 - \frac{x^7}{6} + O(x^{11}).
$$
计算 $2(1 - \cos x) \sin x$：
先展开乘积至 $x^7$ 项：
$$
(1 - \cos x) \sin x = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} \right) \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \right).
$$
计算各阶：
$x^3$ 项：$\frac{1}{2} x^3$，
$x^5$ 项：$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{x^3}{6}) + (-\frac{x^4}{24}) \cdot x = -\frac{x^5}{12} - \frac{x^5}{24} = -\frac{x^5}{8}$，
$x^7$ 项：$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^5}{120} + (-\frac{x^4}{24}) \cdot (-\frac{x^3}{6}) + \frac{x^6}{720} \cdot x = \frac{x^7}{240} + \frac{x^7}{144} + \frac{x^7}{720} = \frac{3x^7}{720} + \frac{5x^7}{720} + \frac{x^7}{720} = \frac{9x^7}{720} = \frac{x^7}{80}$。
所以
$$
(1 - \cos x) \sin x = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{8} + \frac{x^7}{80} + O(x^9),
$$
乘以2得：
$$
2(1 - \cos x) \sin x = x^3 - \frac{x^5}{4} + \frac{x^7}{40} + O(x^9).
$$
步骤3（修正）：分子为
$$
x \sin x^2 - 2(1 - \cos x) \sin x = \left( x^3 - \frac{x^7}{6} \right) - \left( x^3 - \frac{x^5}{4} + \frac{x^7}{40} \right) + O(x^9) = \frac{x^5}{4} - \frac{x^7}{6} - \frac{x^7}{40} + O(x^9) = \frac{x^5}{4} - \frac{20x^7}{120} - \frac{3x^7}{120} + O(x^9) = \frac{x^5}{4} - \frac{23x^7}{120} + O(x^9).
$$
步骤4（修正）：
$$
I = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{4} - \frac{23x^7}{120} + O(x^9)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{4} - \frac{23x^3}{120} + O(x^5) \right) = 0.
$$
结果仍为0，但题目预期非零，需检查是否用错公式。实际上，正确展开应保留至 $x^4$ 项，但分子最低阶为 $x^5$，故极限为0。然而常见题型中此极限应为 $\frac{1}{2}$，可能原题分母为 $x^5$ 或分子有误。按给定题目计算得0。
难度：★★☆☆☆