高等数学

8 📝 有解析

第8题

第8题
8．如果函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin [\pi(x-1)]}{x-1}, & x<1 \\ \arcsin x+k, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ 处处连续，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

第9题

第9题
9．$y=\sqrt{x}$ 在 $x=4$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

第10题

第10题
10．交换二重积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\mathrm{e}^{x}}^{\mathrm{e}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

1 📝 有解析

第1题

第1题
1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\tan \left(x^{2}-1\right)}{x^{3}-1}=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．

2 📝 有解析

第2题

第2题
2．设函数 $f(u)$ 可导且 $f^{\prime}(1)=0.5$ ，则 $y=f\left(x^{2}\right)$ 在 $x=-1$ 处的微分 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=-1}=$
（A）$-\mathrm{d} x$ ．
（B） 0 ．
（C） $\mathrm{d} x$ ．
（D） $2 \mathrm{~d} x$ ．

3 📝 有解析

第3题

第3题
3．$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t=$
（A） $\sin x$ ．
（B） $\sin x^{2}$ ．
（C） $2 x \sin x^{2}$ ．
（D） $2 x \cos x^{2}$ ．

4 📝 有解析

第4题

第4题
4．已知函数 $f(x)$ 的一个原函数 $\ln ^{2} x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
（A） $\ln ^{2} x+C$ ．
（B）$-\ln ^{2} x+C$ ．
（C） $\ln x-\ln ^{2} x+C$ ．
（D） $2 \ln x-\ln ^{2} x+C$ ．

5 📝 有解析

第5题

第5题
5． $\int_{1}^{5} \mathrm{e}^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x=$
（A） $\mathrm{e}^{3}$ ．
（B） $2 \mathrm{e}^{3}$ ．
（C） $3 \mathrm{e}^{3}$ ．
（D） $4 e^{4}$ ．

6 📝 有解析

第6题

第6题
6．设 $f(x+y, x y)=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$
（A） $2 x-2$ ．
（B） $2 x+2$ ．
（C）$x-1$ ．
（D）$x+1$ ．

7 📝 有解析

第7题

第7题
7．不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

第8题

第8题
8．设函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+x$ 在 $x=1$ 处取得极大值 5 ，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$。

9 📝 有解析

第9题

第9题
9．已知 $f(2)=2, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=4, \int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。

10 📝 有解析

第10题

第10题
10．已知 $\displaystyle z=u^{2} \cos v, u=x y, v=2 x+y, \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

1 📝 有解析

第1题

第1题
1 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

2 📝 有解析

第2题

第2题
2 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{aligned} 2, & x>0, \\ \frac{1}{2}, & x=0, \\ -\frac{1}{2}, & x<0,\end{aligned}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ $\_\_\_\_$ ．

3 📝 有解析

第3题

第3题
3 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

4 📝 有解析

第4题

第4题
$\displaystyle 4 \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

5 📝 有解析

第5题

第5题
$5 \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

第6题

第6题
$\displaystyle 6 \quad I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．

7 📝 有解析

第7题

第7题
$\displaystyle 7 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin ^{2} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

第8题

第8题
$\displaystyle 8 I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

第9题

第9题
$\displaystyle 9 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

第10题

第10题
$\displaystyle 10 \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

11 📝 有解析

第11题

第11题
11 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．

（疑似OCR编号错误，以下内容可能属于其他题目） 11 设积分$D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

12 📝 有解析

第12题

第12题
12 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$。

15 📝 有解析

第15题

第15题
15 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

16 📝 有解析

第16题

第16题
16 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ 则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。
जैदिल्ली

17 📝 有解析

第17题

第17题
17 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

18 📝 有解析

第18题

第18题
18 设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ．

19 📝 有解析

第19题

第19题
$\displaystyle 19 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{\mathrm{e}^{x}-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

20 📝 有解析

第20题

第20题
20 设 $f(x)$ 连续，$x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）

21 📝 有解析

第21题

第21题
21 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

纠署笔记

22 📝 有解析

第22题

第22题
22 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为
$\_\_\_\_$。

23 📝 有解析

第23题

第23题
23 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0 \\ 6, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

24 📝 有解析

第24题

第24题
24 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．

25 📝 有解析

第25题

第25题
25 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．

26 📝 有解析

第26题

第26题
26 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1, \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

27 📝 有解析

第27题

第27题
27 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0, \\ -1, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。
S纠铺笔记

28 📝 有解析

第28题

第28题
28 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$。
जेन्दिरुषि

29 📝 有解析

第29题

第29题
29 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．

30 📝 有解析

第30题

第30题
30．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

31 📝 有解析

第31题

第31题
31 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则

I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $\_\_\_\_$ ．

32 📝 有解析

第32题

第32题
32 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

33 📝 有解析

第33题

第33题
$33 f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

34 📝 有解析

第34题

第34题
34 设 $\displaystyle f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ ，则 $f(x)$ 的凸区间是 $\_\_\_\_$ ，拐点的横坐标是 $\_\_\_\_$ ．

35 📝 有解析

第35题

第35题
35 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

37 📝 有解析

第37题

第37题
37 设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。

38 📝 有解析

第38题

第38题
38 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$
$\_\_\_\_$。

39 📝 有解析

第39题

第39题
39 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．

40 📝 有解析

第40题

第40题
40 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

41 📝 有解析

第41题

第41题
41 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\_\_\_\_$。

43 📝 有解析

第43题

第43题
43 函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是
$\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$。

44 📝 有解析

第44题

第44题
44 设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

45 📝 有解析

第45题

第45题
45 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ．
$\_\_\_\_$ ．

49 📝 有解析

第49题

第49题
49 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

50 📝 有解析

第50题

第50题
50 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， 3 ），则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ．

51 📝 有解析

第51题

第51题
51 设 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\arctan x+C$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

52 📝 有解析

第52题

第52题
$\displaystyle 52 . I=\int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

53 📝 有解析

第53题

第53题
$\displaystyle 53 I=\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

54 📝 有解析

第54题

第54题
$\displaystyle 54 I=\int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
Quan新笔说

55 📝 有解析

第55题

第55题
55 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x+1, & x>0, \\ \frac{1}{1+x^{2}}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的所有原函数为 $\_\_\_\_$ ．

56 📝 有解析

第56题

第56题
$\displaystyle 56 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{n+k}}=$ $\_\_\_\_$ ．

57 📝 有解析

第57题

第57题
$57 . I_{1}=\int \cos ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ，$I_{2}=\int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

58 📝 有解析

第58题

第58题
58 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

59 📝 有解析

第59题

第59题
$59 I=\int_{0}^{1} \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

60 📝 有解析

第60题

第60题
$60 I=\int_{0}^{1}\left[\sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

61 📝 有解析

第61题

第61题
61 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。

62 📝 有解析

第62题

第62题
$\displaystyle 62 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1

63 📝 有解析

第63题

第63题
63 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则

F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

64 📝 有解析

第64题

第64题
64 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

65 📝 有解析

第65题

第65题
65 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

66 📝 有解析

第66题

第66题
66 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0

67 📝 有解析

第67题

第67题
$\displaystyle 67 \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

68 📝 有解析

第68题

第68题
$\displaystyle 68 I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

69 📝 有解析

第69题

第69题
$\displaystyle 69 \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

70 📝 有解析

第70题

第70题
70 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 绕 $x$ 轴旋转一周的体积为 $\_\_\_\_$ ．

71 📝 有解析

第71题

第71题
71 若不定积分 $\displaystyle \int \frac{x^{2}+a x+2}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 的结果中不含反正切函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
组鿏笔记

72 📝 有解析

第72题

第72题
72 不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{x+2}{2 x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

73 📝 有解析

第73题

第73题
$\displaystyle 73 I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x) \cos x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

74 📝 有解析

第74题

第74题
74 设 $a>0$ ，则 $\displaystyle I=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

75 📝 有解析

第75题

第75题
75 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$ ，则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

76 📝 有解析

第76题

第76题
76 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小．又 $y(0)=1$ ，则 $y(x)=$
$\_\_\_\_$ ．

77 📝 有解析

第77题

第77题
77 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程

y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$ ．

79 📝 有解析

第79题

第79题
79 微分方程 $\displaystyle (x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

80 📝 有解析

第80题

第80题
80 微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是 $\_\_\_\_$。

81 📝 有解析

第81题

第81题
81 方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足 $y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

82 📝 有解析

第82题

第82题
82 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
（－）纠钵笔记

83 📝 有解析

第83题

第83题
83 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)=b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

84 📝 有解析

第84题

第84题
84 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．

85 📝 有解析

第85题

第85题
85 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足

$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

86 📝 有解析

第86题

第86题
86 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．

87 📝 有解析

第87题

第87题
87 设 $z=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x+y}+y^{2}+(x+y)^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ．

89 📝 有解析

第89题

第89题
89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ．

90 📝 有解析

第90题

第90题
90 已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=(u+v) \mathrm{e}^{v}$ ，且 $f(0, v)=(v-2) \mathrm{e}^{v}$ ．求 $f(x, x+y)=$ $\_\_\_\_$ ．

91 📝 有解析

第91题

第91题
91 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

92 📝 有解析

第92题

第92题
92 已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
↓ 细罚笔记

93 📝 有解析

第93题

第93题
93 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
94设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$
$\_\_\_\_$ ．

95 📝 有解析

第95题

第95题
95 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
96设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$
$\_\_\_\_$ ．

97 📝 有解析

第97题

第97题
97 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

98 📝 有解析

第98题

第98题
98 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

99 📝 有解析

第99题

第99题
99 设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$
$\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

100 📝 有解析

第100题

第100题
100 设 $u=f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$。

101 📝 有解析

第101题

第101题
101 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

102 📝 有解析

第102题

第102题
102 设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

103 📝 有解析

第103题

第103题
103 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

104 📝 有解析

第104题

第104题
104 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

105 📝 有解析

第105题

第105题
105 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$ ．

106 📝 有解析

第106题

第106题
106 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
107交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
纠铺笔记

108 📝 有解析

第108题

第108题
108 将直角坐标下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算

I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x= $\_\_\_\_$。

109 📝 有解析

第109题

第109题
109 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ．

110 📝 有解析

第110题

第110题
110 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

111 📝 有解析

第111题

第111题
111 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

112 📝 有解析

第112题

第112题
112 计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

113 📝 有解析

第113题

第113题
113 计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

114 📝 有解析

第114题

第114题
114 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

115 📝 有解析

第115题

第115题
115 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

116 📝 有解析

第116题

第116题
116 设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

117 📝 有解析

第117题

第117题
117 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

118 📝 有解析

第118题

第118题
118 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

120 📝 有解析

第120题

第120题
120 设积分$D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

576 📝 有解析

第576题

第576题
576 设 $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上定义的周期为 2 的奇函数，且当 $x \in(2,3)$ 时 $f(x)= x^{2}-x-1$ ，则当 $x \in[-2,0]$ 时 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

577 📝 有解析

第577题

第577题
577．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，则 $f[f(x)]=$ $\_\_\_\_$ ．

578 📝 有解析

第578题

第578题
$\displaystyle 578 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-(x+1) \ln (x+1)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
纠籍笔记

580 📝 有解析

第580题

第580题
580 当 $x \rightarrow 0$ 时，连续函数 $f(x)$ 为二阶无穷小， $\int_{0}^{\sqrt[3]{x}} f(t) \mathrm{d} t$ 为 $k$ 阶无穷小，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

581 📝 有解析

第581题

第581题
$\displaystyle 581 f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+x}{x^{2 n}+1}$ 的不可导点的个数正好有 $\_\_\_\_$个．

582 📝 有解析

第582题

第582题
582 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}h(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 并设 $h(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$h(0)=0, h^{\prime}(0)=0$ ．则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

584 📝 有解析

第584题

第584题
584 设 $\displaystyle y=\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-3}$ ，则其 $n$ 阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

585 📝 有解析

第585题

第585题
585 函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}-\frac{16}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最小值为 $\_\_\_\_$。

586 📝 有解析

第586题

第586题
586 设平面有界$D$ 由曲线 $x=y^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 围成，则 $D$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ， $D$ 绕 $y$ 轴旋转形成的旋转体体积为 $\_\_\_\_$。

587 📝 有解析

第587题

第587题
587 设曲线 $L_{1}: y=1-x^{2}$ 与正 $x$ 轴、正 $y$ 轴所围成的被曲线 $L_{2}: y=a x^{2}$ 分为面积相等的两部分，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$。

588 📝 有解析

第588题

第588题
588 过原点与曲线 $C: y=x^{2}+1$ 相切的两条切线与 $C$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转生成的旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．

589 📝 有解析

第589题

第589题
589 某地区居民购买冰箱的消费支出 $w(x)$ 的变化率是居民总收人 $x$ 的函数为 $\displaystyle \frac{1}{200 \sqrt{x}}$ ，当居民收人由 4 亿元增加到 9 亿元时购买冰箱的消费支出增加了 $\_\_\_\_$亿。

590 📝 有解析

第590题

第590题
590 设生产某产品的固定成本为 50 ，产量为 $x$ 时的边际成本函数为 $C^{\prime}(x)=x^{2}-14 x+$ 111 ，边际收益函数为 $R^{\prime}(x)=100-2 x$ ，则总利润函数 $L(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

591 📝 有解析

第591题

第591题
$\displaystyle 591 x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．

592 📝 有解析

第592题

第592题
$592 y^{\prime \prime}-4 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
593已知 $\displaystyle y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x, y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解，$y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是 $\_\_\_\_$ ．

594 📝 有解析

第594题

第594题
594 方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

595 📝 有解析

第595题

第595题
595 设函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$ ，且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x y-y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 满足 $y(1)=-2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．

597 📝 有解析

第597题

第597题
597 把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数，求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} y+x y \mathrm{~d} x=0$ ，则该方程的通解是
$\_\_\_\_$ ．

598 📝 有解析

第598题

第598题
598 差分方程 $y_{t+1}+5 y_{t}-3 t^{2}+t=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

599 📝 有解析

第599题

第599题
599 某公司每年投入研究开发新品的费用总额在比上一年增加 $30 \%$ 的基础上再追加 4百万元．若以 $W_{t}$ 表示第 $t$ 年的研发新品费用总额（单位：百万元），则 $W_{t}$ 满足的差分方程是
$\_\_\_\_$。

600 📝 有解析

第600题

第600题
600 某银行账户，以连续复利方式计息年利率为 $5 \%$ ，希望连续20年以每年12000元的速率取款，若 $t$ 以年为单位，为使 20 年后账户中余额为零，则初始存入的数额为 $\_\_\_\_$元．

601 📝 有解析

第601题

第601题
601 在级数
（1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ，
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ，
（3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ，
（4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$
中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．

602 📝 有解析

第602题

第602题
602 已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^{\alpha}}$ 收敛，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．

603 📝 有解析

第603题

第603题
603 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减的正数列，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n a_{n}}{a_{n+1}} x^{n}$ 的收敛区间是 $\_\_\_\_$。
604已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为
$\_\_\_\_$。

605设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

606 📝 有解析

第606题

第606题
606 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．

607 📝 有解析

第607题

第607题
607 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

608 📝 有解析

第608题

第608题
608 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

609 📝 有解析

第609题

第609题
609 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．

610 📝 有解析

第610题

第610题
610 幂级数

1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

611 📝 有解析

第611题

第611题
611 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

612 📝 有解析

第612题

第612题
612 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

613 📝 有解析

第613题

第613题
$613 f(x)=\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$。

614 📝 有解析

第614题

第614题
614 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．

615 📝 有解析

第615题

第615题
615 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2} 2^{n}} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$。

1 📝 有解析

第1题

第1题
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(3-n)^{3}}{(n+1)^{2}-(n+1)^{3}}=$
（A）$\infty$ ．
（B） 0 ．
（C）-1 ．
（D） 1 ．

2 📝 有解析

第2题

第2题
2．设 $a$ 是常数，则当函数 $\displaystyle f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值时，必有 $a=$
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．

3 📝 有解析

第3题

第3题
3．设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$
（A） $\mathrm{e}^{x}$ ．
（B）$n!$ ．
（C）$n!+\mathrm{e}^{x}$ ．
（D）$n!+n \mathrm{e}^{x}$ ．

4 📝 有解析

第4题

第4题
4． $\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x=$
（A）e．
（B） 0 ．
（C） 1 ．
（D） $\mathrm{e}+1$ ．

5 📝 有解析

第5题

第5题
5．设函数 $\displaystyle z=\frac{x+y}{x-y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$
（A）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} x-y \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ．

6 📝 有解析

第6题

第6题
6．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{n} x^{n}}{3^{n} n!}$ 的收敛半径 $R=$
（A）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{3}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}$ ．

121 📝 有解析

第121题

第121题
121 设有下列命题
（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。
（2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数．
（3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。
（4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

122 📝 有解析

第122题

123 📝 有解析

第123题

第123题
123 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，
（1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在．
（3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在．
则以上命题中正确的个数是
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．
124设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}, \\ 0,\end{array}\right.$

$\begin{aligned}$
& x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\
& \qquad x=2 \\
& \text { (B) 在 }(2,+\infty) \text { 区间有界. } \\
& \text { (D) 在 }(1,2) \text { 和 }(2,+\infty) \text { 区间都无界. }
\end{aligned} （A）在 $(1,2)$ 区间有界．
（C）在 $(1,+\infty)$ 区间有界．

125 📝 有解析

第125题

第125题
125 下列命题中正确的是
（A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ．
（B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ．
（C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ．
（D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ．

126 📝 有解析

第126题

第126题
$\displaystyle 126 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}+\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}\right\}=$
（A）-1 ．
（B） 1 ．
（C）e．
（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ ．

127 📝 有解析

第127题

第127题
127 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的
（A）高阶无穷小。
（B）低阶无穷小。
（C）等价无穷小．
（D）同阶但非等价无穷小。

128 📝 有解析

第128题

第128题
128 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是
（A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ．
（B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ．
（C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ．
（D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．

129 📝 有解析

第129题

第129题
$\displaystyle 129 f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有
（A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ．
（B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ．
（C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ．
（D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ ．

130 📝 有解析

第130题

第130题
$\displaystyle 130 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$
（A） 0 ．
（B）$\displaystyle -\frac{1}{6}$ ．
（C）$\displaystyle -\frac{1}{8}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{1}{12}$ ．

131 📝 有解析

第131题

第131题
131 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则
（A）$k=2, a=1$ ．
（B）$k=-2, a=-1$ ．
（C）$k=2, a=-2$ ．
（D）$k=2, a=-1$ ．

132 📝 有解析

第132题

第132题
132． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$
（A） 1 ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（D） 0 ．

133 📝 有解析

第133题

第133题
$\displaystyle 133 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$
（A） 1 ．
（B）$\displaystyle e^{-\frac{1}{4}}$ ．
（C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{3}}$ ．
（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．

134 📝 有解析

第134题

第134题
134 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则
（A）$a=5, b=-2$ ．
（B）$a=-2, b=5$ ．
（C）$a=2, b=0$ ．
（D）$a=3, b=-3$ ．

135 📝 有解析

第135题

第135题
135 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$
（A） 0 ．
（B） 35 ．
（C） 36 ．
（D）$\infty$ ．

136 📝 有解析

第136题

第136题
136 <br> 下列各题计算过程中正确无误的是
（A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．
（B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在．
（D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．

137 📝 有解析

第137题

第137题
$\displaystyle 137 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$
（A） 3 ．
（B） 2 ．
（C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

138 📝 有解析

第138题

第138题
138 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．
（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．
（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．

139 📝 有解析

第139题

第139题
139 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

140 📝 有解析

第140题

第140题
140 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为
（A）一阶．
（B）二阶．
（C）三阶．
（D）四阶．

141 📝 有解析

第141题

第141题
141 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是
（A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ．
（B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ．
（C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ．
设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则

143 📝 有解析

第143题

第143题
143 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是
（A）$f(x) \sin x$ ．
（B）$f(x)+\sin x$ ．
（C）$f^{2}(x)$ ．
（D）$|f(x)|$ ．

144 📝 有解析

第144题

第144题
144 ＂$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续＂是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的
（A）充分条件，但不是必要条件．
（B）必要条件，但不是充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既不是充分，也不是必要条件．

145 📝 有解析

第145题

第145题
145 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的
（A）充分非必要条件．
（B）必要非充分条件．
（C）充要条件．
（D）既非充分又非必要条件．

146 📝 有解析

第146题

第146题
146 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）极限不存在．
（B）极限存在，但不连续．
（C）连续，但不可导．
（D）可导．

147 📝 有解析

第147题

第147题
147 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$
（A）$(2,1)$ ．
（B）$(1,0)$ ．
（C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ．
（D）$(3,2)$ ．
148设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则

149 📝 有解析

第149题

第149题
149 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的
（A）充分非必要条件．
（B）必要非充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既非充分又非必要条件．

150 📝 有解析

第150题

第150题
150 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于
（A） 5 ．
（B） 3 ．
（C） 4 ．
（D） 7 ．

151 📝 有解析

第151题

第151题
151 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足
（A）$g(a)=a$ ．
（B）$g(a) \neq a$ ．
（C）$g(a)=0$ ．
（D）$g(a) \neq 0$ ．

152 📝 有解析

第152题

第152题
152 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
（A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ．
（B）$n^{2} 3^{n-1}$ ．
（C） $3^{n-2} n(n-1)$ ．
（D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ．

153 📝 有解析

第153题

第153题
153 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是
（A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ．
（B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．
（C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ．
（D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．

154 📝 有解析

第154题

第154题
154 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则
（A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ．
（B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导．
（C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续．
（D）以上结论都不对．

155 📝 有解析

第155题

第155题
155 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$
（A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．

156 📝 有解析

第156题

第156题
156 设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则
（A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ．
（B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。
（C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。
（D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}\right)$ 。

157 📝 有解析

第157题

第157题
157 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ）
（A）有界函数．
（B）有极值．
（C）单调增函数．
（D）单调减函数．

158 📝 有解析

第158题

第158题
158 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得
（A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升．
（B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ．
（C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ．
（D）$f(x)

159 📝 有解析

第159题

第159题
159 设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$
（A）是 $f(x)$ 的极小值点．
（B）是 $f(x)$ 的极大值点．
（C）不是 $f(x)$ 的极值点．
（D）是 $f(x)$ 的拐点．

160 📝 有解析

第160题

第160题
160 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则
（A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值．
（B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值．
（C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
（D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．

161 📝 有解析

第161题

第161题
161 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则
（A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

162 📝 有解析

第162题

第162题
162 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，则下述命题中正确的是
（A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ．
（B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．
（C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标．
（D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点．

163设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则

164 📝 有解析

第164题

第164题
164 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为
（A）$\sqrt{2}$ ．
（B）$\sqrt[3]{3}$ ．
（C）$\sqrt[4]{4}$ ．
（D）$\sqrt[5]{5}$ ．

纠锂笔记

165 📝 有解析

第165题

第165题
165 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则
（A）$a=2, b=-29$ ．
（B）$a=3, b=2$ ．
（C）$a=2, b=3$ ．
（D）以上都不对．
纠钱笔记

166 📝 有解析

第166题

第166题
166 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内存在二阶导数且 $f(a)<0, f(b)>0, f^{\prime \prime}(x)>$ 0 ．则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内
（A）没有零点．
（B）正好有 1 个零点．
（C）正好有 2 个零点．
（D）有多于 2 个零点．

167 📝 有解析

第167题

第167题
167 以下四个命题中，正确的是
（A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．

168 📝 有解析

第168题

第168题
168 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的
（A）必要非充分条件．
（B）充分非必要条件．
（C）充分且必要条件．
（D）既非充分也非必要条件．

169 📝 有解析

第169题

第169题
169 函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

170 📝 有解析

第170题

第170题
170 设 $[0,+\infty)$ 区间上 $y=f(x)$ 的导函数的图形如下图所示
则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

171 📝 有解析

第171题

第171题
171 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则
（A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ．
（B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ．
（C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点．
（D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点．
172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

173 📝 有解析

第173题

第173题
173 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则
（A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)（B）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)>x$ ．
（C）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$ ．
（D）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)

174 📝 有解析

第174题

第174题
174 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$
（A）既有铅直又有水平与斜渐近线．
（B）仅有铅直渐近线．
（C）只有铅直与水平渐近线．
（D）只有铅直与斜渐近线．

175 📝 有解析

第175题

第175题
175 函数 $f(x)=3 \ln x-x$
（A）没有零点．
（B）有 1 个零点．
（C）有 2 个零点．
（D）有 3 个零点．

176 📝 有解析

第176题

第176题
176 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内
（A）可导．
（B）连续．
（C）存在原函数．
（D）是初等函数．

177 📝 有解析

第177题

第177题
177 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$
（A）在 $(-1,1)$ 为无界函数．
（B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数．
（C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ．
（D）在 $[-1,1]$ 不可积．

178 📝 有解析

第178题

第178题
178 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时
（A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ．
（B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t（C）$f(x) \Delta x>\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ．
（D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．

179 📝 有解析

第179题

第179题
179 考察下列叙述：
（1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续．
（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续．
（3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分．
我们可知
（A）只有（1），（2）正确．
（B）只有（2），（3）正确．
（C）只有（2），（4）正确．
（D）只有（3），（4）正确．

180 📝 有解析

第180题

第180题
180 下列函数在指定区间上不存在定积分的是
（A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ．
（B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$
（C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.

181 📝 有解析

第181题

第181题
181 下列命题中有一个正确的是
（A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积．
（C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．

182 📝 有解析

第182题

第182题
182 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为
（1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ．
（2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ．
（3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．

183 📝 有解析

第183题

第183题
183 下述结论不正确的是
（A） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1$ ．
（B） $\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0$ ．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<0$ ．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1$ ．

184 📝 有解析

第184题

第184题
184 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
（A）$M>N>K$ ．
（B）$M>K>N$ ．
（C）$K>M>N$ ．
（D）$K>N>M$ ．

185 📝 有解析

第185题

第185题
185 设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则
（A）$I_{1}<1（B） $1（C）$I_{2}<1（D）$I_{1}

186 📝 有解析

第186题

第186题
186 下列用牛顿 一 莱布尼茨公式计算积分的做法中，错误的做法一共有
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．
（4） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$ ．
（A） 1 个．
（B） 2 个．
（C） 3 个．
（D） 4 个．

187 📝 有解析

第187题

第187题
$187 \quad I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$
（A）$\pi$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．

188 📝 有解析

第188题

第188题
$\displaystyle 188 I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$
（A）$\pi$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ ．

189 📝 有解析

第189题

第189题
$\displaystyle 189 I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=$
（A）$\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{8}{15} \pi$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{15}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{16}+\frac{8}{15} \pi$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{5} \pi$ ．

190 📝 有解析

第190题

第190题
190 设 $n, m$ 为正整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是
（A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ．
（B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ．
（C）反常积分且发散．
（D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ．

191 📝 有解析

第191题

第191题
191 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
（A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．
（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（D）以上均不正确．
192

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} \int_{2 x}^{\ln x} \ln (1+t) \mathrm{d} t=$

194 📝 有解析

第194题

第194题
194 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
（A）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续．
（B）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不可导．
（C）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，$F^{\prime}(0)=f(0)$ ．
（D）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，但 $F^{\prime}(0) \neq f(0)$ ．

195 📝 有解析

第195题

第195题
195 下列叙述错误的是
（A）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为奇函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为偶函数．
（B）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为偶函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为奇函数．
（C）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期且为奇函数，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数．
（D）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期，又 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数．

196 📝 有解析

第196题

第196题
196 设 $f(x)$ 为以 $T$ 为周期的非零连续函数，$\Phi(x)=\int_{a}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t, a$ 是常数，则
（A）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的偶函数．
（B）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的奇函数．
（C）$\Phi(x)$ 是偶函数，但不一定以 $T$ 为周期．
（D）$\Phi(x)$ 是奇函数，但不一定以 $T$ 为周期．
197函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$

198 📝 有解析

第198题

第198题
$\displaystyle 198 I=\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta=$
（A）$\displaystyle -\frac{8}{105}$ ．
（B）$\displaystyle -\frac{4}{35}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{4}{35}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{2}{105}$ ．

199 📝 有解析

第199题

第199题
199 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上
（A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数．
（B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数．
（C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数．
（D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．

200 📝 有解析

第200题

第200题
200 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}\right)=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{5}-2)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{6}-2)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{5}+2)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{6}+2)$ ．

201 📝 有解析

第201题

第201题
201 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$
（A） 0 ．
（B）不存在．
（C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．

202 📝 有解析

第202题

第202题
202 下列反常积分发散的是
（A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

203 📝 有解析

第203题

第203题
203 下列四个反常积分
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ．
中，收敛的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

204 📝 有解析

第204题

第204题
204 设有下列命题
（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
（3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。
（4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

205 📝 有解析

第205题

第205题
205 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$
（A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

206 📝 有解析

第206题

第206题
206 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是
（A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$.

207 📝 有解析

第207题

第207题
207 设 $\displaystyle a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=$
（A）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ．
（B）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ．
（C）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ．
（D）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．

208 📝 有解析

第208题

第208题
208 设 $f(x)$ 为连续函数， $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, F(t)=\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$ ，则 $F^{\prime}(2)=$
（A） $2 f(2)$ ．
（B）$f(2)$ ．
（C）$-f(2)$ ．
（D） 0 ．

209 📝 有解析

第209题

第209题
209 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 可导且 $f^{\prime}(x)<0(x \in(0,1))$ ，则
（A）当 $0\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ ．
（B）当 $0（C）当 $0（D）以上结论均不正确．

210 📝 有解析

第210题

第210题
210 已知边际收益函数 $\displaystyle M R=\frac{a b}{(Q+b)^{2}}-k$ ，其中常数 $a>0, b>0, k>0$ ，则需求函数 $Q=Q(p)$ 的表达式为
（A）$\displaystyle Q=\frac{a}{p+k}-b$ ．
（B）$\displaystyle Q=\frac{b}{p+k}-a$ ．
（C）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+a}-b$ ．
（D）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+b}-a$ ．

211 📝 有解析

第211题

第211题
211 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为
（A）$y=C y_{1}(x)$ ．
（B）$y=C y_{2}(x)$ ．
（C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ．
（D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．

212 📝 有解析

第212题

第212题
212 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程

$\begin{equation*}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$
\end{equation*} 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的
（A）必要非充分条件．
（B）充分非必要条件．
（C）充分且必要条件．
（D）既不充分也不必要条件．

213 📝 有解析

第213题

第213题
213 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$
（A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关．
（B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关。
（C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关．
（D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关．

纽貄笔记

214 📝 有解析

第214题

第214题
214 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是
（A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ．
（B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ．
（C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ．
（D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．

215 📝 有解析

第215题

第215题
215 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且

x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} 则可得
（A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ，（ $C$ 为任意常数）．
（B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ．
（C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）．
（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

216 📝 有解析

第216题

第216题
216 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是
（A） $1-3 x+4 x^{3}$ ．
（B） $1-4 x+3 x^{3}$ ．
（C） $1+3 x-4 x^{3}$ ．
（D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．

217 📝 有解析

第217题

第217题
217 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式
（A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ．
（B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ．
（C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ．
（D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．

218 📝 有解析

第218题

第218题
218 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为
（A）$y=\sin 2 x$ ．
（B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
（C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
（D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

219 📝 有解析

第219题

第219题
219 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是
（A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$ ．
（B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ．
（C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．
（D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．

220 📝 有解析

第220题

第220题
220 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式
（A）$A \sin x+B \cos x$ ．
（B）$A x \cos x$ ．
（C）$A x \sin x$ ．
（D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．

221 📝 有解析

第221题

第221题
221 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解
（A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
（B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
（C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ．
（D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．

222 📝 有解析

第222题

第222题
222 在方程
（1）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$ ，
（2）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$ ，
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$ ，
（4）$\displaystyle x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$ ，
中是线性微分方程是
（A）（1）与（2）．
（B）（2）与（3）．
（C）（3）与（4）．
（D）（4）与（1）．

223 📝 有解析

第223题

第223题
223 设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，$f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)=f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{d} y$ ，则 $f(x)$ 等于
（A） $\cos x+\sin x-1$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\cos x+\sin x-\mathrm{e}^{-x}\right)$ ．
（C） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{x}$ ．
（D） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{-x}$ ．

224 📝 有解析

第224题

第224题
224 设微分方程 $\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-2 x y=x$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 $y^{*}(x)$ ，则 $\int_{0}^{1} y^{*}(x) \mathrm{d} x=$
（A）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{3}{2}$ ．

225 📝 有解析

第225题

第225题
225 设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$
（A） $\cos 2 x-x \sin 2 x$ ．
（B） $\cos 2 x+x \sin 2 x$ ．
（C） $\sin 2 x-x \cos 2 x$ ．
（D） $\sin 2 x+x \cos 2 x$ ．

226 📝 有解析

第226题

第226题
226 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（C）连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在．
（D）可微．

227 📝 有解析

第227题

第227题
227 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续．
（B）不连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（C）不连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（D）不可微．

228 📝 有解析

第228题

第228题
228 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$
（A）不存在．
（B）等于 1 ．
（C）等于 0 ．
（D）等于 2 ．

230 📝 有解析

第230题

第230题
230 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）两个偏导数都不存在．
（B）两个偏导数都存在但不可微．
（C）偏导数连续．
（D）可微但偏导数不连续．

231 📝 有解析

第231题

第231题
231 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（D）全微分存在但一阶偏导数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
232
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题成立的个数为

233 📝 有解析

第233题

第233题
233 已知函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0), ~ \lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0$ ， $y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的
（A）充分条件但非必要条件．
（B）必要条件但非充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既非必要也非充分条件．

234 📝 有解析

第234题

第234题
234 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
（D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．

235 📝 有解析

第235题

第235题
235 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但两个偏导数不存在．
（C）两个偏导数存在但不可微。
（D）可微．
236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处

237 📝 有解析

第237题

第237题
237 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是
（A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在．
（D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．

238 📝 有解析

第238题

第238题
238 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
（A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
（D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．

239 📝 有解析

第239题

第239题
239 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则
（A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．
（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．

240 📝 有解析

第240题

第240题
240 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的
（A）充分但非必要条件．
（B）必要但非充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既不充分也不必要条件．

241 📝 有解析

第241题

第241题
241 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)（A）$x_{1}>x_{2}, y_{1}（B）$x_{1}>x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ．
（C）$x_{1}（D）$x_{1}y_{2}$ ．

242 📝 有解析

第242题

第242题
242 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是
（A）$f(1,1)>1$ ．
（B）$f(-1,1)>-2$ ．
（C）$f(-1,-1)<0$ ．
（D）$f(1,-1)>2$ ．

243 📝 有解析

第243题

第243题
243 已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则
（A）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ．
（B）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=0$ ．
（C）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ．
（D）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=-1$ ．

244 📝 有解析

第244题

第244题
244 设函数 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $f(u)$ 可导，若 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则
（A）$f(1)=1, f^{\prime}(1)=0$ ．
（B）$f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ．
（C）$f(1)=0, f^{\prime}(1)=0$ ．
（D）$f(1)=1, f^{\prime}(1)=1$ ．

245 📝 有解析

第245题

第245题
245 设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f[x+1, \ln (1+x)]=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$
（A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ．
（B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ．
（D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．

246 📝 有解析

第246题

第246题
246 已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$
（A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ．
（B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ．
（C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
（D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．

247 📝 有解析

第247题

第247题
247 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则
（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零．
（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值．
（D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．

248 📝 有解析

第248题

第248题
248 下列命题正确的是
（A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点．
（B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点．
（C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭$D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值．
（D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．

249 📝 有解析

第249题

第249题
249 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是
（A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．
（B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．
（C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．
（D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．

250 📝 有解析

第250题

第250题
250 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处
（A）取极大值．
（B）取极小值．
（C）不取得极值．
（D）是否取得极值与 $k$ 的取值有关．

251 📝 有解析

第251题

第251题
251 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在$x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为
（A）-1 ．
（B） 1 ．
（C） $1+\sqrt{2}$ ．
（D） $1-\sqrt{2}$ ．

252 📝 有解析

第252题

第252题
252 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在$D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是
（A） $\mathrm{e}^{2}$ ．
（B）$e$ ．
（C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ．
（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．
253设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，$D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是

254 📝 有解析

第254题

第254题
254 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则
（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
（D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
纠锱笔记

255 📝 有解析

第255题

第255题
255 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $x y z \leqslant b$ ，则 $b$ 的最小取值是
（A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．

256 📝 有解析

第256题

第256题
256 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于
（A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ．
（D） 0 ．

257 📝 有解析

第257题

第257题
257 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成
（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．

258 📝 有解析

第258题

第258题
258 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分
（A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成

260 📝 有解析

第260题

第260题
260 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．

261 📝 有解析

第261题

第261题
261 设$D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$
（A） 2 ．
（B） 3 ．
（C） 4 ．
（D） 6 ．

262 📝 有解析

第262题

第262题
262 设积分$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$
（A） $6 \pi$ ．
（B） $8 \pi$ ．
（C） $10 \pi$ ．
（D） $12 \pi$ ．

263 📝 有解析

第263题

第263题
263 设积分$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分
$\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．

264 📝 有解析

第264题

第264题
264 设积分$D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ．
265
设积分$D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$

266 📝 有解析

第266题

第266题
266 设积分$D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\pi$ ．
（B）$-\pi$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
267设积分$D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则
$I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$

268 📝 有解析

第268题

第268题
268 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
269
累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于

270 📝 有解析

第270题

第270题
270 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则
（A）$I_{1}（B）$I_{3}（C）$I_{1}（D）$I_{3}

271 📝 有解析

第271题

第271题
271 设积分$$
$\begin{gathered}$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\
D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\}
\end{gathered}

记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$
（A）$I_{1}$ ．
（B）$I_{2}$ ．
（C）$I_{3}$ ．
（D）$I_{4}$ ．
272已知平面域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x\left|+|y| \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}\right.$ ，记 $I_{1}=\iint_{D}\left(2 x^{2}+\tan x y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}\left(x^{2} y+2 \tan y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D}\left(|x y|+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则

273 📝 有解析

第273题

第273题
273 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$
（A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ．

274 📝 有解析

第274题

第274题
274 设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围成的，则 $f(x, y)$ 等于
（A）$x y$ ．
（B） $2 x y$ ．
（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．
（D）$x y+1$ ．

275 📝 有解析

第275题

第275题
275 设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1012$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为
（A） 2022 ．
（B） 2023.
（C） 2024 ．
（D） 2025 ．

616 📝 有解析

第616题

第616题
616 设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则 $f(x)$ 的周期为
（A）1．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

617 📝 有解析

第617题

第617题
617 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+x, & x>0\end{array}\right.$ ，则 $f(-x)=$
（A）$\left\{\begin{array}{cc}-x^{2}, & x \leqslant 0 \\ -\left(x^{2}+x\right), & x>0\end{array}\right.$ ．
（B）$\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^{2}+x\right), & x<0 \\ -x^{2}, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ．
（C）$\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}-x, & x>0\end{array}\right.$ ．
（D）$\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-x, & x<0 \\ x^{2}, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ．

618 📝 有解析

第618题

第618题
$\displaystyle 618 \lim _{x \rightarrow 1}\left(1-x^{2}\right) \tan \frac{\pi}{2} x=$
（A） 1 ．
（B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{4}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{6}{\pi}$ ．

619 📝 有解析

第619题

第619题
619 下列命题
（1）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=0$ ．
（2）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=\infty$ ．
（3）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x))=0$ ．
（4）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+g(x))=+\infty$ ．
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

620 📝 有解析

第620题

第620题
620 设 $f(x)=\arctan x$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(x)=$
（A）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}+1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3 x^{2}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．

621 📝 有解析

第621题

第621题
621 当 $x \rightarrow 0$ 时，下述一些无穷小与 $x^{3}$ 为同阶无穷小的是
（A）$\alpha(x)=x^{3}+x^{2}$ ．
（B）$\displaystyle \beta(x)=\frac{1-\cos x}{x}$ ．
（C）$\gamma(x)=\int_{0}^{\ln (1+x)}\left(\mathrm{e}^{t^{2}}-1\right) \mathrm{d} t$ ．
（D）$\delta(x)=(1+\sin x)^{\ln (1+x)}-1$ ．

622 📝 有解析

第622题

第622题
$\displaystyle 622 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\frac{n^{3}}{n-1}\right)=$
（A） 2 ．
（B）-2 ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．

623 📝 有解析

第623题

第623题
623 设 $u_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 并设数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 无上界，则
（A）数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{u_{n}}\right\}$ 必有上界．
（B）必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ．
（C）对于任意给定的 $M>0$ ，满足 $u_{n}（D）对于任意给定的 $M>0$ ，满足 $u_{n}>M$ 的 $n$ 总有无限个．

624 📝 有解析

第624题

第624题
624 将 $x \rightarrow 0^{+}$时的三个无穷小量 $\alpha=\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t, \beta=\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\sqrt{1-x^{2}}-1$ 排列起来，使得排在后面一个是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
（A）$\alpha, \beta, \gamma$ ．
（B）$\alpha, \gamma, \beta$ ．
（C）$\beta, \alpha, \gamma$ ．
（D）$\beta, \gamma, \alpha$ ．

625 📝 有解析

第625题

第625题
625 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\left(\frac{1+a x}{1-a x}\right)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ \mathrm{e}, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a=$
（A）1．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C） 2 ．
（D） e ．

626 📝 有解析

第626题

第626题
626 函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)\left|x^{3}-4 x\right| \cdot \sin |x|$ 的不可导点为 $x=$
（A）-2 ．
（B） 0 ．
（C） 1 ．
（D） 2 ．

627 📝 有解析

第627题

第627题
627 设 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足 $f(1+x)=a f(x)$ ，且 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a$ 与 $b$ 都是常数，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处
（A）不可导．
（B）可导，$f^{\prime}(1)=a$ ．
（C）可导，$f^{\prime}(1)=b$ ．
（D）可导，$f^{\prime}(1)=a b$ ．

628 📝 有解析

第628题

第628题
628 设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶导数连续，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=2, g^{\prime \prime}(0)=1$ ，且设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{2 x}}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）不连续．
（B）连续但不可导．
（C）可导但导函数不连续．
（D）导函数连续．

629 📝 有解析

第629题

第629题
629 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，并且 $|f(x)| \leqslant 1-\sqrt{1-x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 在 $x=$ 0 处
（A）不连续．
（B）连续而不可导．
（C）可导但 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ．
（D）$f^{\prime}(0)=0$ ．

630 📝 有解析

第630题

第630题
630 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x f^{\prime}(x)}=$
（A） 1 ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

631 📝 有解析

第631题

第631题
631 已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解，则
（A）$q>0$ ．
（B）$q \geqslant 0$ ．
（C）$q<0$ ．
（D）$q \leqslant 0$ ．
632
设 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是

633 📝 有解析

第633题

第633题
633 某商品的需求价格弹性为 $-P(\ln P+1), P$ 为价格，当 $P=1$ 时需求量 $Q(P)=1$ ，则该商品的需求函数 $Q(P)=$
（A）$\displaystyle P^{-\frac{1}{2} P}$ ．
（B）$\displaystyle P^{-\frac{1}{3} P}$ ．
（C）$P^{-P}$ ．
（D）$P^{-2 P}$ ．

634 📝 有解析

第634题

第634题
634 设 $A, B, C$ 为待定常数，则差分方程 $y_{t+1}-y_{t}=t^{2}-1$ 的特解具有形式
（A） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B$ ．
（B） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t$ ．
（C） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}$ ．
（D） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B t+C$ ．

635 📝 有解析

第635题

第635题
635 差分方程 $\displaystyle y_{t+1}-2 y_{t}=5 \sin \frac{\pi}{2} t$ 的一个特解是
（A） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ．
（B） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ．
（C） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ．
（D） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ．
纠钱笔记

636 📝 有解析

第636题

第636题
636 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则
（A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。
（B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。
（C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。
（D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。

637 📝 有解析

第637题

第637题
637 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是
（A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。
（B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。
（C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ．
（D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。

638 📝 有解析

第638题

第638题
638 现有关于级数的如下四个结论：
（1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
（2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．其中正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（1），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）

641 📝 有解析

第641题

第641题
641 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则
（A）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ 发散．
（B）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散．
（C）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right)$ 发散。
（D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ 发散。

642 📝 有解析

第642题

第642题
642 在命题
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。
（2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。
（3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。
（4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。
中正确的是
（A）（1）．
（B）（2）．
（C）（3）．
（D）（4）．

643 📝 有解析

第643题

第643题
643 设正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$b_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+a_{2 n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$
（A）条件收敛．
（B）绝对收敛．
（C）发散．
（D）不能确定敛散性．
644设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是

647 📝 有解析

第647题

第647题
647 在如下四个级数
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ．
中，条件收敛的级数是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（1），（4）．

648 📝 有解析

第648题

第648题
648 下列四个级数中，发散的级数是
（A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ．
（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ．
（C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）．
（D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
纠䦃笔记

649 📝 有解析

第649题

第649题
649 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
（A）$p>1$ ．
（B）$p>2$ ．
（C） $0（D）$\displaystyle p>\frac{1}{2}$ ．

650 📝 有解析

第650题

第650题
650 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$
（A）发散．
（B）绝对收敛．
（C）条件收敛．
（D）敛散性与 $a$ 有关．

651 📝 有解析

第651题

第651题
651 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是
（A） $8,(-2,2]$ ．
（B） $8,[-2,2]$ ．
（C） $4,(-2,2]$ ．
（D） $8,[-2,2)$ ．

652 📝 有解析

第652题

第652题
652 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$
（A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．

653 📝 有解析

第653题

第653题
653 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$
（A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1（C）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（D）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1+x)+1 \quad(-1

654 📝 有解析

第654题

第654题
654 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$
（A）不存在．
（B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ．
（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ．
（D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．

655 📝 有解析

第655题

第655题
655 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-\ln n}$ 收敛，则必有
（A）$\alpha>\ln 3$ ．
（B）$\alpha \neq 1$ ．
（C）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{\ln 3}$ ．
（D）$\alpha<\ln 3$ ．

656 📝 有解析

第656题

第656题
656 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{n}}{n}$ 在 $x>0$ 处发散，在 $x=0$ 处收敛，则常数 $a$ 等于
（A） 0 ．
（B）-1 ．
（C） 1 ．
（D） 2 ．

657 📝 有解析

第657题

第657题
657 设常数 $\alpha>0, \beta>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^{n}}{n^{\alpha}}$ 的收敛性
（A）既与 $\alpha$ 又与 $\beta$ 的取值有关．
（B）仅与 $\alpha$ 的取值有关．
（C）仅与 $\beta$ 的取值有关．
（D）与 $\alpha$ 及 $\beta$ 的取值都无关．

658 📝 有解析

第658题

第658题
658 设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n a_{n}$ 是
（A）绝对收敛．
（B）条件收敛．
（C）发散．
（D）收敛与否与 $a_{n}$ 有关．

659 📝 有解析

第659题

第659题
659 下列命题成立的是
（A）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（B）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散．
（C）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个发散．
（D）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个收敛。