kaoyan3basic 高等数学 第608题

答案：$\left[0,2\right)$
解析：
步骤1：幂级数$\displaystyle \sum a_n\left(x-\frac{1}{2}\right)^n$在$x=2$处发散，即$\displaystyle |2-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$在收敛半径外，故$\displaystyle R\leq\frac{3}{2}$；在$x=-1$处收敛，即$\displaystyle |-1-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$在收敛半径内或边界，故$\displaystyle R\geq\frac{3}{2}$。因此$\displaystyle R=\frac{3}{2}$。
步骤2：幂级数$\sum a_n (x-1)^n$的收敛半径相同，为$\displaystyle R=\frac{3}{2}$。收敛区间中心为$x=1$，故$\displaystyle |x-1|<\frac{3}{2}$即$\displaystyle -\frac{1}{2}步骤3：检查端点：由原级数在$x=2$处发散，对应$|x-1|=1$，但这里$x=2$对应新级数$x=2$处$\displaystyle |2-1|=1<\frac{3}{2}$，需用原级数信息判断。原级数在$x=2$发散，即$\displaystyle |2-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$处发散，故新级数在$\displaystyle x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$处发散；原级数在$x=-1$收敛，即$\displaystyle |-1-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$处收敛，故新级数在$\displaystyle x=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$处收敛。因此收敛域为$\displaystyle [-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，即$\displaystyle [-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。但答案写$\left[0,2\right)$，可能中心不同。
重新计算：原级数中心$\displaystyle \frac{1}{2}$，新级数中心$1$，收敛半径$\displaystyle \frac{3}{2}$，则新级数收敛区间为$\displaystyle (1-\frac{3}{2},1+\frac{3}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。由原级数在$x=2$（距中心$\displaystyle \frac{3}{2}$）发散，知新级数在$\displaystyle x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$发散；原级数在$x=-1$（距中心$\displaystyle \frac{3}{2}$）收敛，知新级数在$\displaystyle x=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$收敛。故收敛域为$\displaystyle [-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。但答案给出$\left[0,2\right)$，可能题目有误或理解不同。
难度：★★★☆☆