kaoyan3basic 高等数学 第611题
📝 题目
第611题
611 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$S(x)=\cos x$，$x\in(-\infty,+\infty)$
解析：
步骤1：考虑$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{(2n)!}x^{2n}$，可拆分为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n}{(2n)!}x^{2n}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$。
步骤2：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}=\cos x-1$。
步骤3：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n}{(2n)!}x^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n-1)!}=x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}=x(-\sin x)$。
步骤4：故$S(x)= -x\sin x + \cos x -1$，但题目中幂级数为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{(2n)!}x^{2n}$，和函数为$\cos x - x\sin x -1$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别幂级数形式
观察幂级数 ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)!，它类似于正弦函数的泰勒展开式 sin x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!，但缺少 (-1)^n 因子。
公式：sin x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!
提示：注意正弦级数中每项有 (-1)^n，而本题没有，因此和函数可能是双曲正弦或正弦的变体。
步骤 2/3
目标：回忆双曲正弦函数展开
双曲正弦函数 sinh x 的泰勒展开为 sinh x = ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)!，与题目级数完全一致。
公式：sinh x = (e^x - e^{-x})/2 = ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)!
提示：双曲正弦与正弦的区别在于没有交错符号。
步骤 3/3
目标：得出和函数
因此，幂级数 ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)! 的和函数为 sinh x，定义域为全体实数。
公式：S(x) = sinh x, x ∈ (-∞, +∞)
提示：验证：当 x=0 时，级数为 0，sinh 0=0，一致。
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