kaoyan3basic 高等数学 第617题
📝 题目
第617题
617 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+x, & x>0\end{array}\right.$ ，则 $f(-x)=$
（A）$\left\{\begin{array}{cc}-x^{2}, & x \leqslant 0 \\ -\left(x^{2}+x\right), & x>0\end{array}\right.$ ．
（B）$\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^{2}+x\right), & x<0 \\ -x^{2}, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ．
（C）$\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}-x, & x>0\end{array}\right.$ ．
（D）$\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-x, & x<0 \\ x^{2}, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：$f(-x)$的定义：将$f(x)$中的$x$替换为$-x$。
步骤2：当$-x \le 0$即$x \ge 0$时，$f(-x) = (-x)^2 = x^2$。
步骤3：当$-x > 0$即$x < 0$时，$f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$。
步骤4：综合得$f(-x) = \begin{cases} x^2 - x, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$，对应选项D。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解复合函数f(-x)的含义
f(-x)表示将f(x)中的自变量x替换为-x。
提示：注意替换时保持函数定义域对应关系。
步骤 2/4
目标：根据-x的范围确定使用f(x)的分段表达式
当-x ≤ 0即x ≥ 0时，使用f(x)的第一段：f(-x)=(-x)^2=x^2。
公式：f(-x)=(-x)^2=x^2
提示：注意-x≤0对应x≥0。
步骤 3/4
目标：处理-x>0的情况
当-x > 0即x < 0时，使用f(x)的第二段：f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x。
公式：f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x
提示：注意-x>0对应x<0。
步骤 4/4
目标：综合写出f(-x)的分段表达式
将两种情况合并：f(-x)= { x^2-x, x<0; x^2, x≥0 }。
提示：注意分段条件与选项对应。
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