kaoyan3basic 高等数学 第95题
📝 题目
第95题
95 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
96设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$|x-y|f(xy)$
解析：
将积分区间按$t$与$xy$的大小关系分段：
当$t\leq xy$时，$|xy-t|=xy-t$；当$t>xy$时，$|xy-t|=t-xy$。
则$z=\int_0^{xy}(xy-t)f(t)dt+\int_{xy}^1(t-xy)f(t)dt$。
对$x$求偏导：
$z_x=y\int_0^{xy}f(t)dt+xy^2f(xy)-xy^2f(xy)-y\int_{xy}^1f(t)dt=y\int_0^{xy}f(t)dt-y\int_{xy}^1f(t)dt$。
再求$z_{xx}=y^2f(xy)+y^2f(xy)=2y^2f(xy)$。
同理$z_{yy}=2x^2f(xy)$。
故$z_{xx}+z_{yy}=2(x^2+y^2)f(xy)$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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