kaoyan3basic 高等数学 第139题
📝 题目
第139题
139 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：分析命题(1)：由无穷小阶的定义，$f(x) \sim A(x-a)^n$，$g(x) \sim B(x-a)^m$，则$f(x)g(x) \sim AB(x-a)^{n+m}$，故(1)正确。
步骤2：分析命题(2)：若$n>m$，则$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \sim \frac{A}{B}(x-a)^{n-m}$，故(2)正确。
步骤3：分析命题(3)：若$n \leqslant m$，当$n=m$时，$f(x)+g(x)$可能为更高阶无穷小，不一定为$n$阶，故(3)错误。
步骤4：分析命题(4)：由积分性质，$\displaystyle \int_a^x f(t)dt \sim \frac{A}{n+1}(x-a)^{n+1}$，故(4)正确。
步骤5：正确命题个数为3。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析命题(1)的正确性
由无穷小阶的定义，设f(x) ~ A(x-a)^n，g(x) ~ B(x-a)^m，则f(x)g(x) ~ AB(x-a)^{n+m}，故f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小，命题(1)正确。
公式：f(x)g(x) ~ AB(x-a)^{n+m}
提示：注意无穷小阶的乘法性质。
步骤 2/5
目标：分析命题(2)的正确性
若n>m，则f(x)/g(x) ~ (A/B)(x-a)^{n-m}，故f(x)/g(x)是x-a的n-m阶无穷小，命题(2)正确。
公式：f(x)/g(x) ~ (A/B)(x-a)^{n-m}
提示：注意n>m时除法有意义。
步骤 3/5
目标：分析命题(3)的正确性
若n≤m，当n=m时，f(x)+g(x)可能为更高阶无穷小（例如f(x)=x-a, g(x)=-(x-a)），不一定为n阶，故命题(3)错误。
提示：注意同阶无穷小相加可能抵消。
步骤 4/5
目标：分析命题(4)的正确性
由积分性质，∫_a^x f(t)dt ~ (A/(n+1))(x-a)^{n+1}，故∫_a^x f(t)dt是x-a的n+1阶无穷小，命题(4)正确。
公式：∫_a^x f(t)dt ~ (A/(n+1))(x-a)^{n+1}
提示：注意积分提高一阶。
步骤 5/5
目标：统计正确命题个数
命题(1)、(2)、(4)正确，命题(3)错误，故正确个数为3。
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