kaoyan3basic 高等数学 第63题
📝 题目
第63题
63 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则
F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1)
的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$1$
解析：
步骤1：$\displaystyle F(x) = \int_{1}^{x} \left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d}t$，求导得$\displaystyle F'(x) = \left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)\right] f(x) \cdot 1 + \int_{1}^{x} \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d}t = \int_{1}^{x} \left(-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x}\right) f(t) \mathrm{d}t$。
步骤2：令$F'(x)=0$得$\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d}t = 0$，由于$f(t)>0$，故$x=1$为唯一驻点，且为极小值点。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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