kaoyan3basic 高等数学 第191题
📝 题目
第191题
191 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
（A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．
（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（D）以上均不正确．
192
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} \int_{2 x}^{\ln x} \ln (1+t) \mathrm{d} t=$
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：由题意$F(x)=\sin x \ln|x|$是$f(x)$的一个原函数，则$\displaystyle f(x)=F'(x)=\cos x \ln|x|+\frac{\sin x}{x}$。
步骤2：$\displaystyle \int x f'(x)dx = x f(x) - \int f(x)dx = x\left(\cos x \ln|x|+\frac{\sin x}{x}\right) - \sin x \ln|x| + C$。
步骤3：化简得$x\cos x \ln|x|+\sin x - \sin x \ln|x|+C$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(x)的表达式
由题意，F(x)=sin x ln|x|是f(x)的一个原函数，则f(x)=F'(x)=cos x ln|x| + sin x / x。
公式：f(x)=F'(x)
提示：注意绝对值求导时，ln|x|的导数为1/x。
步骤 2/3
目标：应用分部积分法
计算∫x f'(x) dx，利用分部积分公式：∫x f'(x) dx = x f(x) - ∫f(x) dx。
公式：∫u dv = uv - ∫v du，令u=x，dv=f'(x)dx
提示：分部积分中，选择u=x，dv=f'(x)dx，则du=dx，v=f(x)。
步骤 3/3
目标：代入并化简
代入f(x)和∫f(x)dx = sin x ln|x| + C，得：x(cos x ln|x| + sin x/x) - sin x ln|x| + C = x cos x ln|x| + sin x - sin x ln|x| + C。
公式：x f(x) - ∫f(x) dx
提示：注意sin x/x乘以x得sin x。
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