kaoyan3basic 高等数学 第168题
📝 题目
第168题
168 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的
（A）必要非充分条件．
（B）充分非必要条件．
（C）充分且必要条件．
（D）既非充分也非必要条件．
💡 答案解析
答案：B
解析：充分性：若$f'(x)$在$(a,+\infty)$有界，设$|f'(x)| \le M$，对任意$x>a$，由拉格朗日中值定理，$|f(x)-f(a+1)| \le M|x-(a+1)|$，故$f(x)$有界。必要性不成立，反例$f(x)=\sqrt{x}$在$(0,+\infty)$有界（实际上无界，但可考虑$f(x)=\ln x$在$(1,+\infty)$无界？更合适反例：$f(x)=\sin(x^2)$在$(0,+\infty)$有界，但$f'(x)=2x\cos(x^2)$无界。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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