kaoyan3basic 高等数学 第40题
📝 题目
第40题
40 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}+a^{2}y=0$
解析：步骤1：令$x=\sin t$，则$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{1}{\cos t}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot\frac{1}{\cos t}=\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\cdot\frac{1}{\cos^{2}t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\sin t}{\cos^{3}t}$。
步骤2：代入原方程：$\displaystyle (1-\sin^{2}t)\left(\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\cdot\frac{1}{\cos^{2}t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\sin t}{\cos^{3}t}\right)-\sin t\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{1}{\cos t}+a^{2}y=0$，化简得$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}+a^{2}y=0$。
难度：★★★☆☆