kaoyan3basic 概率论与数理统计 第445题
📝 题目
第445题
445 已知随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-y}, & 0
💡 答案解析
答案：$\displaystyle 1 - \frac{2}{e}$
解析：
步骤1：积分区域$0
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定积分区域
由条件0
提示：注意x
步骤 2/2
目标：计算概率积分
P{X+Y≤1}=∫_{0}^{1/2}∫_{x}^{1-x} e^{-y} dy dx。先对y积分：∫_{x}^{1-x} e^{-y} dy = -e^{-y}|_{x}^{1-x} = e^{-x} - e^{-(1-x)}。再对x积分：∫_{0}^{1/2} (e^{-x} - e^{-(1-x)}) dx = [-e^{-x} - e^{-(1-x)}]_{0}^{1/2} = (-e^{-1/2} - e^{-1/2}) - (-1 - e^{-1}) = -2e^{-1/2} + 1 + e^{-1} = 1 - 2/√e + 1/e。化简得1 - 2/e。
公式：∫ e^{-y} dy = -e^{-y}
提示：注意积分限代入时符号变化，最后化简合并。
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