kaoyan3basic 概率论与数理统计 第495题
📝 题目
第495题
495 已知 $0（A）$P\left[\left(A_{1} \cup A_{2}\right) \mid \bar{B}\right]=P\left(A_{1} \mid \bar{B}\right)+P\left(A_{2} \mid \bar{B}\right)$ ．
（B）$P\left(A_{1} B \cup A_{2} B\right)=P\left(A_{1} B\right)+P\left(A_{2} B\right)$ ．
（C）$P\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=P\left(A_{1} \mid B\right)+P\left(A_{2} \mid B\right)$ ．
（D）$P(B)=P\left(A_{1}\right) P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) P\left(B \mid A_{2}\right)$ ．
496若 $A, B$ 为任意两个随机事件，且满足条件 $\displaystyle P(A B) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ ，则
（B）$P\left(A_{1} B \cup A_{2} B\right)=P\left(A_{1} B\right)+P\left(A_{2} B\right)$ ．
（C）$P\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=P\left(A_{1} \mid B\right)+P\left(A_{2} \mid B\right)$ ．
（D）$P(B)=P\left(A_{1}\right) P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) P\left(B \mid A_{2}\right)$ ．
496若 $A, B$ 为任意两个随机事件，且满足条件 $\displaystyle P(A B) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ ，则
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：由$P[(A_1\cup A_2)\mid B]=P(A_1\mid B)+P(A_2\mid B)$，得$P(A_1A_2\mid B)=0$，即$P(A_1A_2B)=0$。
步骤2：$P(A_1B\cup A_2B)=P((A_1\cup A_2)B)=P(A_1B)+P(A_2B)-P(A_1A_2B)=P(A_1B)+P(A_2B)$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由条件概率公式推导出P(A1A2B)=0
已知P[(A1∪A2)|B] = P(A1|B) + P(A2|B)。由条件概率定义，左边=P((A1∪A2)B)/P(B)，右边=P(A1B)/P(B)+P(A2B)/P(B)。两边乘以P(B)得P((A1∪A2)B)=P(A1B)+P(A2B)。又因为P((A1∪A2)B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)，所以P(A1A2B)=0。
公式：P((A1∪A2)B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)
提示：注意条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)。
步骤 2/2
目标：验证选项B成立
选项B为P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)。左边P(A1B∪A2B)=P((A1∪A2)B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)。由步骤1知P(A1A2B)=0，故左边=P(A1B)+P(A2B)，与右边相等。因此选项B正确。
公式：P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)
提示：利用事件运算性质：A1B∪A2B=(A1∪A2)B。
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