kaoyan3basic 概率论与数理统计 第497题
📝 题目
第497题
497 设离散型随机变量 $X$ 服从分布律 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{C}{k!} \mathrm{e}^{-2}, k=0,1,2, \cdots$ ，则常数 $C$ 必为
（A） 1 ．
（B）e．
（C） $\mathrm{e}^{-1}$ ．
（D） $\mathrm{e}^{-2}$ ．
💡 答案解析
答案：A
解析：
步骤1：分布律满足$\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1$，即$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}e^{-2}=Ce^{-2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce^{-2}\cdot e=Ce^{-1}=1$。
步骤2：解得$C=e$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用分布律的归一性建立方程
由分布律的性质，所有概率之和为1，即∑_{k=0}^{∞} P{X=k} = 1。代入分布律得：∑_{k=0}^{∞} (C/k!) e^{-2} = 1。
公式：∑_{k=0}^{∞} P{X=k} = 1
提示：注意求和从k=0到无穷，包括k=0项。
步骤 2/3
目标：化简求和表达式
将常数因子提出：C e^{-2} ∑_{k=0}^{∞} 1/k! = 1。由于∑_{k=0}^{∞} 1/k! = e，所以C e^{-2} * e = C e^{-1} = 1。
公式：∑_{k=0}^{∞} 1/k! = e
提示：记住指数函数的泰勒展开式。
步骤 3/3
目标：解出常数C
由C e^{-1} = 1，解得C = e。
公式：C = e
提示：注意指数运算的逆运算。
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