kaoyan3basic 线性代数 第366题
📝 题目
第366题
366 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶可逆矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行乘以 -2 得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则
（A） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 行乘以 -2 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 。
（B） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 列乘以 $\displaystyle -\frac{1}{2}$ 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ ．
（C） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 行乘以 2 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 。
（D） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 列乘以 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ ．
💡 答案解析
答案：B
解析：
由题意，矩阵 $ \boldsymbol{B} $ 是由 $ \boldsymbol{A} $ 的第1行乘以 -2 得到的，即左乘一个初等矩阵 $ \boldsymbol{E} $：
$$
\boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \boldsymbol{A}, \quad \boldsymbol{E} =
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
因为 $ \boldsymbol{A} $ 可逆，所以 $ \boldsymbol{B} $ 也可逆，且
$$
\boldsymbol{B}^{-1} = (\boldsymbol{E} \boldsymbol{A})^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{E}^{-1}.
$$
而 $ \boldsymbol{E}^{-1} =
\begin{pmatrix}
-\frac12 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} $，右乘 $ \boldsymbol{E}^{-1} $ 相当于将 $ \boldsymbol{A}^{-1} $ 的第1列乘以 $ -\frac12 $。
因此选项（B）正确。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解矩阵初等变换与初等矩阵的关系
由题意，矩阵B是将A的第1行乘以-2得到的，这相当于左乘一个初等矩阵E，其中E是将单位矩阵的第1行乘以-2得到的，即E = diag(-2, 1, 1)。因此有B = EA。
公式：B = EA, E = diag(-2, 1, 1)
提示：左乘初等矩阵对应行变换，右乘对应列变换。
步骤 2/4
目标：求B的逆矩阵表达式
由于A可逆，B也可逆，且B^{-1} = (EA)^{-1} = A^{-1}E^{-1}。E^{-1}是E的逆矩阵，因为E是对角矩阵，所以E^{-1} = diag(-1/2, 1, 1)。
公式：B^{-1} = A^{-1}E^{-1}, E^{-1} = diag(-1/2, 1, 1)
提示：逆矩阵的顺序要反转。
步骤 3/4
目标：解释右乘E^{-1}对A^{-1}的影响
右乘E^{-1}相当于对A^{-1}进行列变换：将A^{-1}的第1列乘以-1/2，因为E^{-1}的第1列第1个元素是-1/2，其余列是单位向量。因此，B^{-1}是由A^{-1}的第1列乘以-1/2得到的。
公式：右乘对角矩阵diag(d1,d2,d3)相当于第i列乘以di
提示：注意区分行变换和列变换：左乘是行变换，右乘是列变换。
步骤 4/4
目标：匹配选项
选项B说：A^{-1}的第1列乘以-1/2得到B^{-1}，与推导一致。其他选项错误。
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