kaoyan3basic 线性代数 第367题
📝 题目
第367题
367 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right]$ ，且秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $a=$
（A） 1 ．
（B）-2 ．
（C）3．
（D）-1 ．
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则下列命题中，正确的是
💡 答案解析
答案：D
解析：
第一问：矩阵
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 5 \\
1 & a & 10
\end{pmatrix}
$$
秩为2，则行列式必为0。计算行列式：
按第一行展开：
$$
\det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 10 - 5 \cdot a) - 1 \cdot (2 \cdot 10 - 5 \cdot 1) + 0
= (30 - 5a) - (20 - 5) = 30 - 5a - 15 = 15 - 5a
$$
令其等于0得 $15 - 5a = 0$，所以 $a = 3$。
因此第一问选C。
第二问：关于秩为r的矩阵的正确命题：
（1）错误，秩为r只要求存在一个r阶子式不为0，并非所有r阶子式都不为0。
（2）正确，这是秩的定义之一。
（3）错误，r-1阶子式可能为0，不一定全不为0。
（4）正确，所有高于r阶的子式（即r+1阶）全为0。
因此正确的是（2）和（4），对应选项D。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定参数a的值
由于矩阵A的秩为2，则其行列式为0。计算行列式：按第一行展开，det(A)=1*(3*10-5*a)-1*(2*10-5*1)+0=30-5a-20+5=15-5a。令15-5a=0，解得a=3。
公式：det(A)=15-5a=0
提示：秩为2的3阶矩阵行列式必为0。
步骤 2/2
目标：选择正确选项
第一问a=3，对应选项C。第二问：秩为r的矩阵，存在一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式均为0。因此正确命题是(2)和(4)，对应选项D。
提示：注意秩的定义：非零子式的最高阶数。
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